前言

大一的时候蓝桥杯省赛遇到过（作为非编程题的压轴题），这次看的别人的面经也多次出现，就写篇博文总结一下。

题目

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破， 在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下，最小化鸡蛋下落的次数。

解析

无脑二分法（最多人想到的伪解法）

当时省赛没注意审题，就想的这种方法，首先需要确定的是，在最坏的情况下，求最小化尝试次数，所以肯定不是无脑二分那么简单了，例如，你第一次仍第50层，碎了如果你再选择二分，直接到25层又碎的话，两个鸡蛋就都没了，接下来你咋试啊？所以你接下来只能从1层到49层一个一个试了，最终尝试次数为50次。

假设法

首先，假设答案，也就是最小尝试次数为x，此时从第x层开始仍，有两种情况：

• 碎了，那么只能从1到x-1一个一个试了，总结果为x次，符合。
• 没碎，那么直接把第1到x层抛弃掉，当作不存在（因为鸡蛋不会在这范围内碎掉），我们把第x+1层当成第1层，尝试次数为x-1（因为刚刚仍了1次，最小尝试次数减1），此时就从第x-1层（真实层数为x+x-1）开始仍，同样又会出现两种情况：
• 第二次碎了，则是从第1层到第x-2层开始仍 ，总尝试次数同样是x
• 第二次没碎，还是之前原理，这次从x-2层开始，以此类推，一直扔到最后一层或碎了为止。

最终结果就是\(x+(x-1)+(x-2)...+1 = 100\)，解得\(x = 14\)。

题目升级版本

楼层M，鸡蛋数N，求最坏情况下的最小次数。

动态规划法

理解了上面的假设法，再学过动态规划的话，这里应该就问题不大了。
状态转移方程如下：
\[f[m][n] = min(f[m][n],1+max(f[k-1][n-1],f[m-k][n]),k\in[1,m-1])\]
解释：当有n个鸡蛋时，所需尝试的楼层数为m，此时将鸡蛋仍在第k层，则有两种情况

• 碎了，那么接下来只需要尝试1到k-1层，鸡蛋数为n-1，此时问题不就转化成了楼层数k-1，鸡蛋数n-1，求最坏情况下的最小次数吗？
• 没碎，那么直接把第1到k层抛弃掉，只需要尝试第k+1到m层，鸡蛋没碎，所以仍为n，此时问题不就转化成了楼层数m-k，鸡蛋数n，求最坏情况下的最小次数吗？
• 为什么取MAX？因为是最坏的情况，所以取碎了与没碎中的最大情况。

代码如下：

int superEggDrop(int egg,int floor){
    int ans[floor+1][egg+1];
    for(int m = 1;m <= floor;m++)
        for(int n = 1;n <= egg;n++)
            ans[m][n] = m;//最坏的情况下，自然是所有楼层试一遍，同时这也是鸡蛋数为1时的答案

    for(int m = 1;m <= floor;m++)
        for(int n = 2;n <= egg;n++)//n必须从2开始，如果是1，就会出现ans[k-1][1-1=0]，显然不存在0鸡蛋的情况
            for(int k = 1;k <= m-1;k++)
                ans[m][n] = min(ans[m][n],1+max(ans[k-1][n-1],ans[m-k][n]));
    return ans[floor][egg];
}