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1. $(\mathbf{A B})^{-1}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$

   $ABB^{-1}A^{-1}=A(BB^{-1}=I)A^{-1}=AA^{-1}=I$, $B^{-1}A^{-1}$就是 $AB$的逆矩阵故而有 $(\mathbf{A B})^{-1}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$

2. $(\mathbf{A B C} \ldots)^{-1}=\ldots \mathbf{C}^{-1} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$
   按照1,进行推理即可.使用归纳法.

3. $\left(\mathbf{A}^{T}\right)^{-1}=\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}$

   1. 现在来求 $A^{T}$的逆矩阵。

   2. 假设C是 $A^T$的逆矩阵。那么 $A^TC=I$。利用5，使用转置可得。

   3. $C^TA=I^T$，由此可知 $C^T=A^{-1} \Rightarrow C=(A^{-1})^T$

   由此可见原式成立

4. $(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{T}=\mathbf{A}^{T}+\mathbf{B}^{T}$

   假设 $a_{i,j}\in A, b_{i,j}\in B,c_{i,j}\in A+B$,那么 $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$, $c^T_{i,j}=c_{j,i}=a_{j,i}+b_{j,i}$.因为 $a_{j,i}\in A^T,b_{j,i}\in B^T$.原式成立.

5. $(\mathbf{A B})^{T}=\mathbf{B}^{T} \mathbf{A}^{T}$

   1. 假设 $a_{i,j}\in A, b_{i,j}\in B,c_{i,j}\in AB$

   2. 那么,根据等式左边
      $c^T_{i,j}=c_{j,i}=\sum_{k=1}^{n}a_{j,k}b_{k,i}$

   3. 再来看等式右边,假设 $d_{i,j}\in B^TA^T$
      $d_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{j,k}b_{k,i}$

   4. 由此可见等式左边和右边相等.

6. $(\mathbf{A B C} \ldots)^{T}=\ldots \mathbf{C}^{T} \mathbf{B}^{T} \mathbf{A}^{T}$

   可以靠5递归得到

7. $\left(\mathbf{A}^{H}\right)^{-1}=\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{H}$

   • 首先 $A^H$表示共轭转置，这是矩阵扩展到复数域后的一种变换。

   • 按照转置的时候相同思路，加上9即可证明。

8. $(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{H}=\mathbf{A}^{H}+\mathbf{B}^{H}$

   • 类似转置的证明方法，可以证明共轭转置。

   • 其中需要注意的一点是 $\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}$

9. $(\mathbf{A B})^{H}=\mathbf{B}^{H} \mathbf{A}^{H}$

   • 也是类似转置的证明方法

   • 注意 $\overline{xy}=\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{y}\cdot\overline{x}$

10. $(\mathbf{A B C} \ldots)^{H}=\ldots \mathbf{C}^{H} \mathbf{B}^{H} \mathbf{A}^{H}$

    使用9即可证明

总结

共轭转置和转置的行为非常类似。可以认为是一种复数域上的类比。