大总结：
总结先写在前面，这是leetcode上的经典dp，听说很多大厂面试都问到了。我由浅到深的刷完了，个人认为做dp一类的题都是先考虑每一个状态是怎么得到的，是否所有的状态都只和上一个状态有关系，然后再用数组将这个状态的转换表示出来。至于状态压缩，就是看每一个状态的上一个状态离得近不近，如果离的很近的话就可以用滚动变量来压缩这个状态。就像斐波那契数列，他的每一个状态都是和上一个上上一个状态有关，所以可以用三个滚动变量来压缩状态，换句话说，对每一个状态而言，在前面离得特别远的状态根本就用不到。

121. 买卖股票的最佳时机
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意你不能在买入股票前卖出股票。
示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

题目链接（leetcode）

思路：因为只需要交易一次，遍历所有的价格，计算出以该价格卖出去之后赚的利润（该价格-前面的最小价格），求最大值。

参考代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) 
	{
		if(prices == null||prices.length == 0)
			return 0;
		int ans = 0;
		int min = prices[0];
		for(int i = 1;i<prices.length;i++)
		{
			if(min < prices[i])
				ans = Math.max(ans, prices[i]-min);
			else
				min = prices[i];
		}
		return ans;
    }
}

122. 买卖股票的最佳时机 II
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

题目链接（leetcode）

思路：
每一天手上都会有两种情况，一种是持有股票，另外一种是没有股票，开一个二维数组dp，dp[0][i]表示第i-1天手上没有股票时的最大利润，dp[1][i]表示第i-1天手上持有股票时的最大利润。
1、当手上持有股票时有两种情况，要么是一直都持有股票，要么是昨天刚刚卖了，两者的最大值为这天的最大利润，即dp[1][i]=Math.max(dp[1][i-1],dp[0][i-1]-price[i])。
2、同理，当手上没有股票时也有两种情况，要么是一直都没有股票，要么是今天刚刚卖完，则dp[0][i]=Math.max(dp[0][i-1],dp[1][i-1]+price[i])。
答案为最后一天不持有股票的最大利润，为啥不是最后一天持有股票的最大利润，买了股票又不卖出去，这时候肯定不是最大利润，还不如不买。

进阶： 我们发现每一次更新的状态只和昨天的有关，所以可以定义四个滚动变量来表示昨天没有股票的状态、昨天持有股票的状态、今天没有股票的状态、今天持有股票的状态，将空间复杂度优化成O（1）。

参考代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) 
	{
		if(prices == null||prices.length < 2)
			return 0;
		int nolast = 0,yeslast = -prices[0];
		int nonow = 0,yesnow = 0;
		for(int i = 1;i < prices.length;i++)
		{
			nonow = Math.max(nolast, yeslast + prices[i]);
			yesnow = Math.max(yeslast, nolast-prices[i]);
			nolast = nonow;
			yeslast = yesnow;
		}
		return nonow;
    }
}

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

题目链接（leetcode）

思路：
和第二道题是一样的，但是加入了冷冻期这个条件，这样会使第i天持有股票的状态发生了变化，他不可能时昨天刚刚卖了股票今天刚买，只能再往前推一天，前天卖了股票昨天冷冻期今天又买股票。看方程：
1、当手上持有股票时有两种情况，要么是一直都持有股票，要么是前天刚刚卖了昨天时冷冻期今天刚买，两者的最大值为这天的最大利润，即dp[1][i]=Math.max(dp[1][i-1],dp[0][i-2]-price[i])。
2、同理，当手上没有股票时也有两种情况，要么是一直都没有股票，要么是今天刚刚卖完，则dp[0][i]=Math.max(dp[0][i-1],dp[1][i-1]+price[i])。
同样今天的状态只涉及到前天和昨天，所以可以定义6个滚动遍历来替代二维数组，将空间优化成O（1）。

参考代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) 
	{
		if(prices==null || prices.length <= 1)
			return 0;
		else if(prices.length == 2)
			return Math.max(0, prices[1]-prices[0]);
		int[][] dp = new int[2][prices.length];
		int noqian = 0,yesqian = -prices[0];
		int nolast = Math.max(0, prices[1]-prices[0]),yeslast = Math.max(-prices[0], -prices[1]);
		int nonow = 0,yesnow = 0;
		for(int i = 2;i<prices.length;i++)
		{
			nonow = Math.max(nolast, yeslast + prices[i]);
			yesnow = Math.max(yeslast, noqian - prices[i]);
			noqian = nolast;
			yesqian = yeslast;
			nolast = nonow;
			yeslast = yesnow;
		}
		return nonow;
    }
}

714. 买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

0 < prices.length <= 50000.
0 < prices[i] < 50000.
0 <= fee < 5000

题目链接（leetcode）

思路：
这题和第二题也是一样的，状态都一样，但是每次卖出股票时要减去手续费，同样可以状态压缩。

参考代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) 
	{
		if(prices == null || prices.length <= 1)
			return 0;
		int[][] dp = new int[2][prices.length];
		int nolast = 0, yeslast = -prices[0];
		int nonow = 0, yesnow = 0;
		for(int i = 1;i<prices.length;i++)
		{
			nonow = Math.max(nolast, yeslast + prices[i]-fee);
			yesnow = Math.max(yeslast, nolast - prices[i]);
            nolast = nonow;
            yeslast = yesnow ;
		}
		return nonow;
    }
}

123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

题目链接（leetcode）

思路：和第二题相比，这题难度加高了，加了一个状态，我们可以定义一个三维数组dp来表示所有的状态。dp[0][i][1]、dp[0][i][2]分别表示第i-1天第1次、第2次在不持有股票时可获得的最大利润，dp[1][i][1]、dp[1][i][2]分别表示第i-1天第1次、第2次在持有股票时可获得的最大利润。同样的，每一天都会有2个状态。
1、当i-1天手上不持有股票，第1次交易时，要么是一直这个状态（手上一直没有股票），要么是今天刚刚把股票卖了，取它们的最大值。即dp[0][i][1]=max（dp[0][i-1][1],dp[1][i-1][1]+price[i]），第2次交易也是同理。
2、当i-1天手上持有股票，第1次交易时，要么是一直这个状态（手上一直有股票），要么是今天刚刚买了股票，取它们的最大值，即dp[1][i][1]=max(dp[1][i-1][1],dp[0][i-1][0]-prince[i]),注意如果时今天刚买的股票要取昨天上一次交易的最大利润，因为刚买股票就是交易次数+1了，所以要取上一次交易的。

   3         3         5         0       0       3       1       4
0  {0,0,0}   {0,0,0}   {0,2,2}   {0,2,2} {0,2,2} {0,3,5} {0,3,5} {0,4,6}
1  {0,-3,-3} {0,-3,-3} {0,-3,-3} {0,0,2} {0,0,2} {0,0,2} {0,0,2} {0,0,2}

参考代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices)
	{
		if(prices == null ||prices.length < 2)
			return 0;
		int[][][] dp = new int[2][prices.length][3];
		for(int k = 1;k < 3;k++)
			dp[1][0][k] = -prices[0];
		for(int i = 1;i < dp[0].length;i++)
		{
			for(int j = 1;j < 3;j++)
			{
				dp[0][i][j] = Math.max(dp[0][i-1][j], dp[1][i-1][j] + prices[i]);
				dp[1][i][j] = Math.max(dp[1][i-1][j], dp[0][i-1][j-1]-prices[i]);
			}
		}
		return dp[0][prices.length-1][2];
    }
}

188. 买卖股票的最佳时机 IV
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

题目链接（leetcode）

思路：这题和第五题其实是一样的，这次把两次交易换成k次就ok了。但这有个坑，k如果大于天数除以2的话，k是没有意义的，例如5天，k为7，5天内最多交易两次。最后还不行，会报内存不够，每一次的状态都只和这次的交易或上一次的交易有关，所以还要把状态压缩一下。

参考代码：

class Solution {
    
    public int maxProfit(int k, int[] prices)
	{
		if(prices == null ||prices.length < 2 || k==0)
			return 0;
        k = Math.min(prices.length/2,k);
		int[][] dp = new int[2][k+1];
		for(int i = 1;i < dp[0].length;i++)
			dp[1][i] = -prices[0];
		for(int i = 1;i <prices.length;i++)
		{
			for(int j = 1;j < dp[0].length;j++)
			{
				dp[0][j] = Math.max(dp[0][j], dp[1][j] + prices[i]);
				dp[1][j] = Math.max(dp[1][j], dp[0][j-1]-prices[i]);
			}
		}
		return dp[0][k];
    }

}