1. 非线性控制系统的两大任务

1.1 稳定（或称调节）问题

稳定问题是要使得闭环系统的状态稳定在一个平衡点附近。对于稳定问题，系统的输出不一定要有具体的物理意义，此时可以借助输入-输出状态线性化方法把原非线性熊转换为线性系统，从而用线性系统额理论解决系统的稳定问题。

1.2 跟踪（或称伺服）问题

跟踪问题是要使得闭环系统的输出跟踪一个给定的时变轨迹。

2. 常用的非线性系统镇定方法

2.1 Lyapunov 直接法

Lyapunov李雅普诺夫直接法与间接法的区别：李雅普诺夫线性化方法，也叫做李雅普诺夫第一方法，也叫做李雅普诺夫间接法。为什么叫李雅普诺夫间接法呢？它是相对于李雅普诺夫直接法而言的。因为李雅普诺夫直接法(李雅普诺夫第二方法)是通过直接分析非线性系统，而间接法是通过把非线性系统进行线性化，间接地来分析系统的稳定性。Lyapunov线性化方法和直接法，构成了李雅普诺夫稳定性理论）。

2.2 输入-状态镇定法

2.2.1 重要定义

$K$ 类函数及 $k_{\infty }$ 函数定义：连续函数 $\alpha :[0,a)\rightarrow R^{+}$ 称为 $K$ 类函数，如果它是连续、严格递增的，且 $\gamma (0)=0$ 。特别的，如果它进一步满足 $a=\infty$ 和 $\lim_{s\rightarrow \infty }\alpha (s)=\infty$ ，则函数 $\alpha$ 称为 $k_{\infty }$ 类函数。

KL类函数定义：连续函数 $\beta :[0,a)\times [0,\infty)\rightarrow R^{+}$ 称为 $KL$ 类函数，如果对于每个固定的 $s$ ，函数 $\beta(\cdot ,s)$ 是 $K$ 类函数，对于每个固定的 $r$ ，函数 $\beta(r,\cdot):[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ 是递减的，并且 $\lim_{s\rightarrow \infty }\beta (r,s)=0$ 。

$L_{\infty }^{m}$ 代表分段函数 $u:[0,\infty)\rightarrow R^{+}$ 范数有界，即有

$\left \| u(\cdot )\right \|_{\infty }= \underset{t\geq t_{0}}{sup}\left \| u(t) \right \|$

2.2.2 输入-状态稳态

输入-状态稳定定义：系统方程为 $\dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t)$ ，若存在一个 $KL$ 类函数 $\beta$ 和 $K$ 类函数 $\gamma$ ，对于任意初始条件 $x(t_{0})$ 和任意输入函数 $u(t)\in L_{\infty }^{m}$ ， $x(t)$ 存在且满足

$\left \| x(t) \right \|\leq \beta (\left \| x(t_{0}) \right \|,t-t_{0})+\gamma (\underset{t_{0}\leq \tau \leq t}{sup}\left \| u(\tau ) \right \|),t\geq t_{0}$