1007 素数对猜想

题目分析

这道题主要需要在寻找素数的算法上下功夫。
首先有下面这样一个结论：除2、3之外的所有素数，一定满足模6等于1或者5。即大于3的素数均可以表示成 $6n-1$或者 $6n+1$的形式。

证明：
若 $n=6k、6k+2、6k+4$，显然是偶数，不可能是素数
若 $n=6k+3$ 那么也存在因数3，也不可能是素数，所以大于3的素数一定可以表示成 $6n-1$或者 $6n+1$的形式。

但需要注意，这是一个数是素数的必要条件，并非充分条件。因为素数可能含有某些质因数，例如 $35=6*6-1$，而35是一个合数。

通过上述性质，我们可以极大缩短寻找素数的范围，这里我采用了变步长的方法，即循环寻找素数时每次增长2或者4。当然也可以每次加1，然后判断模6之后的余数是不是1或者5来决定需不需要进一步搜索是否存在某些质因数。经过验证，这两种方法的计算开销几乎没什么差异。

另一个非常重要的优化策略在于，判断一个数n是否是素数时，并不需要一直遍历到n-1看有没有其因数，搜索的上界只需要到 $\lfloor {\sqrt n}\rfloor$即可。因为如果它是一个合数，一定能表示成大于等于 $\sqrt n$和小于等于 $\sqrt n$的两个数的积，如果一直搜索到 $\lfloor {\sqrt n}\rfloor$还没有发现其因数，那么可以判定这个数就是质数。这个性质对代码的优化对于最后一个测试点能否通过至关重要，开始我就是前面4个测试点都通了，最后一个运行超时，修改了这一条之后就AC了。

源代码

#include <stdio.h>
#include <cmath>
int main()
{
    int limit;
    scanf("%d",&limit);

    int count=0;
    int prePrim;   //指向上一个找到的质数
    int testValue;
    bool foundNew=true;  //标志找到新质数
    if(limit>4){       //小于5时直接输出0
        count=1; //3,5构成第一对
        prePrim=5;
        testValue=7;
        int interval=4;  //设置增长步长
      
        while(testValue<=limit){
            int j=5,d=2;
            int judge=sqrt((double)testValue);
            while(j<=judge){  //判断其是否存在质因数
                if(testValue%j==0){
                    foundNew=false;
                    break;
                }
                j+=d;
                if(d==2)   d=4;  //增长步长变为4
                else d=2;
            }
            if(foundNew){
                if(testValue-prePrim==2) count++;
                prePrim=testValue;  //更新前驱指标 
            }
            foundNew=true;  //不论是否发现，都将指标更新为true
            testValue+=interval;    //更新待测试值
            if(interval==4) interval=2;
            else interval=4;
        }
   }
    printf("%d",count);
    
    return 0;
}

1008

题目分析

这个题主要应用到了一个技巧，循环右移M个位置，生成的数组等价于先将数组整体逆置，即第一个元素与最后一个元素交换，第二个与倒数第二个交换……依次类推。然后将数组前M个元素逆置，最后将剩余N-M个元素逆置。

另外需要注意的是，写代码时，可能某些测试点给的位移值是大于数组长度的，可以先把位移值对数组长度求模，所得到的值作为真正的位移值即可。

源代码

#include <stdio.h>

void reverse(int *arr,int start,int end);  //将从start到end的元素进行逆置
int main()
{
    int caseSize,shift;
    scanf("%d %d",&caseSize,&shift);
    shift=shift%caseSize;  //求模后的值作为真实位移值
    int *value=new int[caseSize];
    for(int i=0;i<caseSize;++i)
        scanf("%d",&value[i]);
    reverse(value,0,caseSize-1);
    reverse(value,0,shift-1);
    reverse(value,shift,caseSize-1);
    for(int i=0;i<caseSize-1;++i)  //最后一个数后没有空格
        printf("%d ",value[i]);
    printf("%d",value[caseSize-1]);
    delete []value;
    return 0;
}
void reverse(int *arr,int start,int end)
{
    int tmp;
    while(start<end){
        tmp=arr[start];
        arr[start++]=arr[end];
        arr[end--]=tmp;
    }
}