题目描述
题解
结论:存在一种合法方案当且仅当所有联通块大小为偶数
证明:随便做一个生成树,然后每次断掉一条两边大小都为偶数的边
断完之后变成若干棵树,每棵树大小为偶数且每条边两侧的块大小都为奇数
选取当前的所有边,若存在度数为偶数的点,那么总点数为偶数*断开后块大小(奇数)+1,结果为奇数,与条件矛盾
同时还有一个性质,改变断边的顺序不会影响到最终断边方案
因为每次断掉的大小都为偶数,不会使原来两侧是大小是奇数的加上后变为偶数
从后往前做,先假设所有边都给出
把边从小到大排序做生成树,直到全部块都为偶数
那么最后加入的那条边的长度即为答案
因为答案=断边之后剩下的最大边,而加入的最后一条边会把两个奇数块合并,也就是说必然会保留
把-1看成+inf,答案显然单调不增,反着做就是单调不减
那么对于<=当前答案的边就可以全部丢到图里备选,显然不会使奇偶性改变or使答案变小
从后往前线段树分治,对于一个叶子节点如果图不满足条件就把未加的边从小到大加
每经过一条边就把它丢到[出现位置,当前位置-1]处(边遍历边修改)
答案就是当前丢到图中的最大边权
(至于为什么从小到大丢就可以最优……应该是和生成树一类的吧,也许可以用拟阵证明)
code
#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define ll long long
#define file
using namespace std;
struct type{
int x,y,s,id,X,Y,S;
} a[300001];
int ans[300001],fa[100001],d[100001],size[100001],n,m,i,j,k,l,sum,L;
vector<int> tr[1200001];
bool cmp(type a,type b)
{
return a.s<b.s;
}
int gf(int t)
{
while (fa[t]!=t) t=fa[t];
return t;
}
void swap(int &x,int &y)
{
int z=x;x=y;y=z;
}
void link(int id)
{
int x=a[id].x,y=a[id].y;
x=gf(x);y=gf(y);
if (x==y) {a[id].X=0;return;}
if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
a[id].X=x,a[id].Y=y;
fa[x]=y;
a[id].S=d[x]==d[y];
d[y]+=d[x]==d[y];
sum-=(size[x]&1)+(size[y]&1);
size[y]+=size[x];
sum+=(size[y]&1);
}
void cut(int id)
{
if (!a[id].X) return;
int x=a[id].X,y=a[id].Y;
fa[x]=x;
d[y]-=a[id].S;
sum-=(size[y]&1);
size[y]-=size[x];
sum+=(size[x]&1)+(size[y]&1);
}
void change(int t,int l,int r,int x,int y,int s)
{
if (x>y) return;
int mid=(l+r)/2;
if (x<=l && r<=y)
{
tr[t].push_back(s);
return;
}
if (x<=mid)
change(t*2,l,mid,x,y,s);
if (mid<y)
change(t*2+1,mid+1,r,x,y,s);
}
void dfs(int t,int l,int r)
{
int mid=(l+r)/2,i,L2,N=tr[t].size();
fo(i,0,N-1) link(tr[t][i]);
if (l==r)
{
L2=L;
while (L<=m && sum)
{
if (a[L].id<=l)
link(L),change(1,1,m,a[L].id,l-1,L);
++L;
}
if (sum)
ans[l]=-1;
else
ans[l]=a[L-1].s;
fd(i,L-1,L2) if (a[i].id<=l) cut(i);
fd(i,N-1,0) cut(tr[t][i]);
return;
}
dfs(t*2+1,mid+1,r);
dfs(t*2,l,mid);
fd(i,N-1,0) cut(tr[t][i]);
}
int main()
{
freopen("road.in","r",stdin);
#ifdef file
freopen("road.out","w",stdout);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m);
if (n&1)
{
fo(i,1,m) printf("-1\n");
return 0;
}
fo(i,1,m)
scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].s),a[i].id=i;
fo(i,1,n) fa[i]=i,d[i]=size[i]=1;
sort(a+1,a+m+1,cmp);
sum=n;L=1;
dfs(1,1,m);
fo(i,1,m)
printf("%d\n",ans[i]);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}