logN求Fibonacci数列第N项
- 斐波那契数列通项公式
- 以下介绍两种复杂度为 的算法
- 两种方法思想类似
1. 二分递归
- 当我们尝试将 和 进行继续拆解时(始终保持两项),发现两项的系数始终是斐波那契数列中的某一相邻两项
- 因此,F(i)一定可以可以由4个项组成
- 当 时则为
- 且a,b,x具有一定关系
思路
a,b,x有多种可能
此时需要算4个小项才能合并到1个大项
若这4个项中有相同的项,则可以简化计算
此外,越大的项,计算的复杂度越大,反之越小
因此我们可以想到取 附近的项
- 通过递推得(也可以用较小的
找找规律)
- 当 为奇数时,
- 当 为偶数时,
即我们将一个递推项分成2或3项分别计算后再合并
- 可以分析复杂度为
- 注:在实际程序实现中,不能直接
return F(i/2+1)*F(i/2)+F(i/2)*F(i/2-1)
,这样会造成计算冗余- 应该先保存下结果,计算后
return
递归代码
int Fibonacci(int x) // logN
{
if (x == 1 || x == 2) return 1;
if (x % 2 != 0)
{
int F1 = Fibonacci(x / 2 + 1), F2 = Fibonacci(x / 2);
return F1 * F1 + F2 * F2;
}
else
{
int F1 = Fibonacci(x / 2 + 1), F2 = Fibonacci(x / 2), F3 = Fibonacci(x / 2 - 1);
return F1 * F2 + F2 * F3;
}
}
2. 矩阵分治
- 结合矩阵的知识,我们可以知道斐波那契数列符合
- 于是随着等号右边中的斐波那契项的项数 降低,该矩阵就不断左乘
因此可以基于矩阵结合律计算若干项矩阵乘积,再左乘
- 设该矩阵为A
- 则
- 其中 只需计算一项
- 依次类推
这就是
快速幂
的思想快速幂讲解
代码
int[2][2] Matrix(int x)
{
int a[2][2] = { { 1, 1 }, { 0, 1 } };
if (x == 1) return a;
int b[2][2] = Matrix(x / 2);
if (x % 2 == 0) return b * b; // 省略矩阵乘法
return b * b * a;
}