背包的参数 \(P\) 表示背包的重量是物品总体积对 \(P\) 取模的结果。给定 \(n\) 种物品，第 \(i\) 种的体积占用为 \(V_i\)，每种物品有无限个。进行 \(q\) 次询问，每次询问给定重量 \(w_i\)，问有多少种选择物品种类的方案（显然一共有 \(2^n\) 种），使得被选择的这些物品每种放入若干个后能使得背包的总重量是 \(w_i\)。\(n,q \leq 10^6\)

Solution

设当前选择的物品的体积分别是 \(a_1,a_2,\dots,a_k\)，则可以凑出 \(w_i\) 的条件是 \(gcd(P,a_1,a_2,\dots,a_k)|w_i\)

一个显然的暴力是，设 \(f[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个物品，当前物品集合与 \(P\) 的 \(gcd\) 为 \(j\)，转移时考虑选或不选，暴力主动转移即可，复杂度 \(O(nP^{1/3})\)

考虑到 \((v_i,P)\) 相同的这些 \(v_i\) 没有本质区别，我们可以将 \((v_i,P)\) 相同的都压在一起，假设有 \(t\) 个那么贡献方案数就是 \(2^t-1\)，时间复杂度 \(O(n\log V + P^{2/3})\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000005;
const int M = 5005;
const int mod = 1e+9 + 7;
int n,p,q,v[N],w[N],f[M][M],fac[N],pw[N],c[N],top,ans[M];

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>q>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];
    for(int i=1;i<=q;i++) cin>>w[i];
    for(int i=1;i*i<p;i++) if(p%i==0) fac[++top]=i;
    for(int i=sqrt(p);i;--i) if(p%i==0) fac[++top]=p/i;
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int tmp=__gcd(v[i],p);
        c[lower_bound(fac+1,fac+top+1,tmp)-fac]++;
    }
    f[0][top]=1;
    for(int i=1;i<=top;i++) {
        for(int j=1;j<=top;j++) {
            (f[i][j]+=f[i-1][j])%=mod;
            (f[i][lower_bound(fac+1,fac+top+1,__gcd(fac[i],fac[j]))-fac]+=f[i-1][j]*(pw[c[i]]-1))%=mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=top;i++) {
        for(int j=1;j<=i;j++) {
            if(fac[i]%fac[j]==0) (ans[i]+=f[top][j])%=mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;i++) {
        w[i]=__gcd(w[i],p);
        cout<<ans[lower_bound(fac+1,fac+top+1,w[i])-fac]<<endl;
    }
}