最大上升子序列和
题目
一个数的序列 bi,当 b1<b2<…<bS 的时候,我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN),我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK),这里1≤i1<i2<…<iK≤N。
比如,对于序列(1,7,3,5,9,4,8),有它的一些上升子序列,如(1,7),(3,4,8)等等。
这些子序列中和最大为18,为子序列(1,3,5,9)的和。
你的任务,就是对于给定的序列,求出最大上升子序列和。
注意,最长的上升子序列的和不一定是最大的,比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100,而最长上升子序列为(1,2,3)。
输入格式
输入的第一行是序列的长度N。
第二行给出序列中的N个整数,这些整数的取值范围都在0到10000(可能重复)。
输出格式
输出一个整数,表示最大上升子序列和。
数据范围
输入样例
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例
18
题解
思路
- 状态表示:f[i] 表示从第一个数字开始算,以 a[i] 结尾的上升序列的最大和
- 状态方程:f[i] = max(f[i], f[j] + a[i])
注意
- f[] 表示上升序列的总和,由于每个数本身是一个长度为1的上升序列,所以需要初始化为当前数
- f[] 表示以 a[] 结尾的上升序列的总和,所以最后答案是 f[] 的最大值
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N], f[N], n;
int main () {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = a[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j < i; j ++)
if (a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + a[i]);
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);
cout << res;
return 0;
}