应用场景
推荐系统:分析购买某类商品的潜在因素,判断该类商品的购买概率。挑选购买过的人群A和未购买的人群B,获取两组人群不同的用户画像和行为特征数据。建立用户行为模型、商品推荐模型实现产品的自动推荐。
公式
对于二分类问题,给定训练集{(x1, y1), …, xn,yn)},其中xi表示第i个用户的p维特征,yi∈{0,1}表示第i个用户是否购买过该商品。
模型满足二项式分布:
其中,θ为模型参数,包含该商品的偏置项。
通过最大似然估计来求解:
进一步可以得到负对数似然函数:
采用随机梯度下降法来求解数值:
对参数θ求导得到:
进一步可以得到:
其中,0<ρ<1是步长参数。
代码实现
损失函数的定义,正则化防止过拟合
import random
import numpy as np
class LogisticRegression(object) :
def __init__(self, x, y, lr=0.0005, lam=0.1):
'''
x: features of examples
y: label of examples
lr: learning rate
lambda: penality on theta
'''
self.x = x
self.y = y
self.lr = lr
self.lam = lam
n = self.x.shape
self.theta = np.array ([0.0] * (n + 1))
def _sigmoid (self , x) :
z = 1.0/(1.0 + np.exp((-1) * x))
return z
def loss_function (self):
u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta)) # u(xi)
c1 = (-1) * self.y * np.log (u)
c2 = (1.0 - self.y) * np.log(1.0 - u)
# 计算交叉熵 L(θ)求均值
loss = np.average(sum(c1 - c2) + 0.5 * self.lam * sum(self.theta[1:] ** 2))
return loss
def _gradient(self, iterations) :
# m是样本数, p是特征数
m, p = self.x.shape
for i in range(0, iterations):
u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta))
diff = self.theta - self.y
for _ in range(0, p):
self.theta[_]= self.theta[_] - self.lr * (1.0 / m) * (sum(diff * self.x [:, _]) + self.lam * m * self.theta[_])
cost= self.loss_function()
def run(self, iteration):
self. _gradient(iteration)
def predict(self, x):
preds = self._sigmoid(np.dot(x, self.theta))
np.putmask (preds, preds >= 0.5, 1.0)
np.putmask (preds, preds < 0.5, 0.0)
return preds
参考文献
《推荐系统与深度学习》黄昕等