【数论】质数筛选法（埃拉托色尼筛法及线性筛法）

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

在编程中，有时我们会遇到要找出一个整数范围内所有质数的情况，如果该范围很大，逐个判定该范围内所有数是否为质数（找出它是否能被大于1小于自己的整数整除）就会浪费大量时间，造成TLE。

在这时，我们就需要质数筛选法，直接筛出一个整数范围内的所有质数。

1.埃拉托色尼筛法

时间复杂度

希腊学者埃拉托色尼（公元前275-公元前193，第一个算出地球周长的人）提出的质数筛选法充分利用了质数的特性，非常好理解。

基本原理：任意整数 x 的倍数 2x，3x，... 等都不是质数。

例：找出1-50内所有的质数

第一步：2为质数，标记4，6，8，10……50为合数

第二步：3为质数，标记6，9，12，15……48为合数

第三步：4已被标记为合数，标记8，12，16……48为合数

第四步：5为质数，标记10，15，20……50为合数

（从小到大执行到某个数时，若它未被标记，它即为质数）

……

不断进行下去，我们就可以标记出1-50所有的质数和合数。十分简单，所以我不提供代码实现。

2.线性筛法

时间复杂度 O(logn)

在上面的方法我们发现，有很多重复标记的现象。例如12既会被2又会被3标记，

基本原理：每个合数必为它的最小质因子和一个最大因数（除它本身）的乘积。（质数的最小质因子为它本身，最大因数（除它本身）为1）

我们用这个最大因数（除它本身）把合数筛掉，避免重复。

也是从2开始筛选，每一步，将当前数与已经找出来的质数中小于等于它的最小质因子的相乘，把乘积作为合数筛掉。

例：找出1-50内所有的质数

第一步：2为质数，标记4为合数

第二步：3为质数，标记6为合数

第三步：4为合数，标记8为合数

第四步：5为质数，标记10，15为合数

（从小到大执行到某个数时，若它未被标记，它即为质数）

……

线性筛法函数的代码实现：

int prime[MAXN],ct=0; //存储找到的质数
int v[MAXN]; //记录0~MAXN是否为质数

void fprime(int b) //线性筛法找质数
{
　　 for(int i=2;i<=b;i++) //找到2到b内的所有质数
　　 {
　　　　 if(v[i]==0) //v[i]没被筛过，v[i]为质数
　　　　prime[++ct]=i; //储存第cnt个质数
　　　　for(int j=1;j<=ct;j++) //遍历小于i的所有质数
　　　 {
　　　　　　if(i*prime[j]>b) break; //无需判断比b大的数是质数还是偶数
　　　　　　v[i*prime[j]] = 1; //标记不为质数的数

　　　　　　f(i%prime[j]==0) break; //当遇到最小的质数是i的因数时，break
　　　　}
　　}
}

相关题目：洛谷 P1217 [USACO1.5]回文质数 Prime Palindromes

推荐：https://www.cnblogs.com/1625--H/p/9824516.html 该篇也讲的很详细