1. 邻接矩阵A

1.1 定义

行为顶点，列也为顶点 的n*n矩阵。矩阵元素aij=vi与vj之间关联的边数。

若vi与vj不邻接，则aij=0.

A是非负的、对称的；

A. 同一图的不同形式的邻接矩阵是相似矩阵。

B.若G为简单图，则A(G)是布尔型矩阵；行、列和分别等于对应顶点的度数；矩阵元素总和为图的总度数。

C. G是连通的充要条件: A(G)不能与块对角矩阵相似，即不能与如下矩阵相似:

$\begin{bmatrix} A_{11}} & O \\ O & A_{22}} \end{bmatrix}$

证明：

必要性：反证法。

如果连通图G与块对角矩阵相似，设A11对应顶点{v1,v2,...,vk},A22对应顶点{vk+1,vk+2,...vn}

显然，vi与vj不连通(i≤k<j),与G是连通图矛盾！

充分性：反证法。

A(G)不与块对角矩阵相似时，若G不联通，则设G1与G2是两个不连通的部分。

必然可以构造出块对角矩阵的A(G)，从而与A(G)不与块对角矩阵相似矛盾！

重要定理:

D. 对任意图G, 若 $A^{k}(G)=(a_{ij}^{(k)})$ ，则 $a_{ij}^{(k)}$ 表示顶点vi到vj的途径长度为k的途径条数。

意义：建立了图结构与图代数表示之间的关系。

证明：由数学归纳法证明。

k=1时显然成立；

假设结论对(k-1)成立;

则当为k时，一方面，通过A^(k)=A^(k-1)*A计算出 $a_{ij}^{(k)}$ ；另一方面，从图的角度计算出 $a_{ij}^{(k)}$ ,进而发现二者结论表达式相同，故证毕。

推论：

当G为简单图时， $a_{ii}^{(2)}$ 表示vi的度数； $a_{ii}^{(3)}$ 表示含vi的三角形个数的两倍。

G是(n,m)图，则关联矩阵M(G)为n*m的矩阵，其中每行表示一个顶点；每列表示一条边。M(G)中的元素aij取值为点vi与边ej的关联数。不关联时，取值为0；边取值为1；环取值为2.

关联矩阵可以用来证明握手定理：每行和为改行对应的点的度数，故按行求和相加结果为所有顶点度数和。每列和为2，按行求和相加结果为边数的两倍。显然，二者相等，即握手定理。

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