这个曾经看来很难的OI知识在学过高代之后就很好证明了,最近学会了一个新的证明方法,比以前的简洁很多,给那些觉得这个定理难的同学分享一下。
Hamilton-Cayley 定理:
设
A是
n阶矩阵,
f(λ)=∣λI−A∣为其特征多项式,则
f(A)=0。
证明
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设
B为
(λI−A)的伴随矩阵(此时
λ是数域上的数),则
B(λI−A)=(λI−A)B=f(λ)I(伴随矩阵的性质)。
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B可拆分为为若干数字矩阵与未定元
λ的乘积,
B=λn−1Bn−1+λn−2Bn−2+...+B0
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现在将
(λI−A)和
B看做是
λ为未定元,矩阵为系数的多项式。那么有:
(λI−A)B=λnan+...+a0=T(λ) (
T(λ)是系数为矩阵的多项式)
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当
λ∈F时,
T(λ)=f(λ)I(由伴随矩阵的性质)。
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⇒T(λ)=f′(λ)(
f′(λ)是系数为矩阵的多项式且系数
fi′=fiI,如若不然,带入实数
λ不会恒成立上一行的式子)
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⇒T(A)=(AI−A)B=0=f′(A)=f(A)I⇒f(A)=0
注意一个细节,矩阵多项式带入矩阵求值,那么内部的矩阵必须是可交换的(因为多项式卷积需要把所有未定元结合起来)。由于
(λI−A)B=B(λI−A),很容易可以看出
A与
B,Bi都可交换,于是可以带入
A求值。
理解
为什么会想到这么证明呢?是因为我们要把特征多项式和矩阵乘积连接起来,然后用矩阵乘积的方法来证明。 而伴随矩阵恰好可以把行列式计算转化为矩阵乘积。观察以上证明过程
B的作用主要是连接
(λI−A)和
∣λI−A∣。