题解:
把0操作看做是叶子,1操作看做非叶节点,一个操作在另一个操作删除,则另一个操作为这个操作的父亲,于是转化成了满足以下条件的
个点的树的计数:
1.父亲标号>儿子。
2.若一个点为非叶节点,记其儿子中叶子节点的数量为
,则若其儿子中有非叶节点,
,否则
。
首先可以发现的是
集合中有没有0都无所谓(因为必须选非空序列),所以假设其0次项为1。
然后就类似无根树计数的方法(这里注意大小为1的是有序的,其余是无序的),把他的儿子给拼出来,我们可以枚举有几个非叶节点作为儿子,则:
两边除个
,得到:
不妨设
,可以得到:
设
,化简一下:
我们只需要解这个方程就行啦!
怎么解呢,可以用牛顿迭代法,先假设一下我们知道 ,考虑怎么求 :
可以得到:
整理一下常量,发现其实是要解这个方程:
这个可以先设
,解出
:
然后设
,则:
然后 ,这道题就做完辣,时间复杂度 。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<18|1;
inline char nc() {
static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
(ib==ob) && (ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
return (ib==ob) ? -1 : *ib++;
}
inline int rd() {
char ch=nc(); int i=0,f=1;
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1; ch=nc();}
while(isdigit(ch)) {i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0'; ch=nc();}
return i*f;
}
const int N=1e6+50, mod=998244353;
inline int add(int x,int y) {return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y);}
inline int dec(int x,int y) {return (x-y<0) ? (x-y+mod) : (x-y);}
inline int mul(int x,int y) {return (long long)x*y%mod;}
inline int power(int a,int b,int rs=1) {for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) rs=mul(rs,a); return rs;}
inline int sgn(int x) {return (x&1) ? (mod-1) : 1;}
namespace FFT {
const int G=3;
int A[N],B[N],w[N],pos[N],k;
inline void init(int n) {
for(k=1;k<=n;k<<=1);
memset(A,0,sizeof(int)*k);
memset(B,0,sizeof(int)*k);
for(int i=1;i<k;i++) pos[i]=(i&1) ? ((pos[i>>1]>>1)^(k>>1)) : (pos[i>>1]>>1);
}
inline void dft(int *a) {
for(int i=1;i<k;i++)
if(pos[i]>i) swap(a[pos[i]],a[i]);
for(int bl=1;bl<k;bl<<=1) {
int tl=bl<<1, wn=power(G,(mod-1)/tl);
w[0]=1; for(int i=1;i<bl;i++) w[i]=mul(w[i-1],wn);
for(int bg=0;bg<k;bg+=tl)
for(int j=0;j<bl;j++) {
int &t1=a[bg+j], &t2=a[bg+j+bl], t=mul(t2,w[j]);
t2=dec(t1,t); t1=add(t1,t);
}
}
}
inline void func() {
dft(A); dft(B);
for(int i=0;i<k;i++) B[i]=mul(B[i],A[i]);
dft(B); const int inv=power(k,mod-2);
for(int i=0;i<k;i++) B[i]=mul(B[i],inv);
reverse(B+1,B+k);
}
}
struct combin {
int fac[N],ifac[N];
combin() {
fac[0]=1;
for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
ifac[0]=ifac[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++) ifac[i]=mul(mod-mod/i,ifac[mod%i]);
for(int i=2;i<N;i++) ifac[i]=mul(ifac[i-1],ifac[i]);
}
inline int inv(int i) {return mul(ifac[i],fac[i-1]);}
} cb;
struct poly {
vector <int> a;
poly(int d=0,int t=0) {a.resize(d+1); a[d]=t;}
inline int& operator [](const int &i) {return a[i];}
inline const int& operator [](const int &i) const {return a[i];}
inline int deg() const {return a.size()-1;}
inline poly extend(int k) {poly c=*this; c.a.resize(k); return c;}
friend inline poly operator +(const poly &a,const poly &b) {
poly c(max(a.deg(),b.deg()),0);
for(int i=0;i<=a.deg();i++) c[i]=add(c[i],a[i]);
for(int i=0;i<=b.deg();i++) c[i]=add(c[i],b[i]);
return c;
}
friend inline poly operator -(const poly &a,const poly &b) {
poly c(max(a.deg(),b.deg()),0);
for(int i=0;i<=a.deg();i++) c[i]=add(c[i],a[i]);
for(int i=0;i<=b.deg();i++) c[i]=dec(c[i],b[i]);
return c;
}
friend inline poly operator *(const poly &a,const int &b) {
poly c=a;
for(int i=0;i<=c.deg();i++) c[i]=mul(c[i],b);
return c;
}
friend inline poly operator *(const poly &a,const poly &b) {
poly c(a.deg()+b.deg()); FFT::init(c.deg());
for(int i=0;i<=a.deg();i++) FFT::A[i]=a[i];
for(int i=0;i<=b.deg();i++) FFT::B[i]=b[i];
FFT::func();
for(int i=0;i<=c.deg();i++) c[i]=FFT::B[i];
return c;
}
inline poly dg() {
if(!deg()) return poly(0,0);
poly c(deg()-1,0);
for(int i=0;i<=c.deg();i++)
c[i]=mul(a[i+1],i+1);
return c;
}
inline poly ig() {
poly c(deg()+1);
for(int i=1;i<=c.deg();i++)
c[i]=mul(a[i-1],cb.inv(i));
return c;
}
inline poly inv(poly f,int k) {
if(k==1) {return poly(0,power(f[0],mod-2));}
poly f0=inv(f.extend(k>>1),k>>1);
return f0*2-(((f0*f0).extend(k))*f).extend(k);
}
inline poly ln(poly f,int k) {
poly f0=f.dg(), f1=inv(f,k);
return (f0*f1).ig().extend(k);
}
inline poly exp(poly f,int k) {
if(k==1) {return poly(0,1);}
poly f0=exp(f.extend(k>>1),k>>1);
return (f0*(f-ln(f0,k)+poly(0,1))).extend(k);
}
inline poly cinv(int k) {
return inv(*this,k);
}
inline poly cexp(int k) {
return exp(*this,k);
}
} ;
inline poly get_poly(poly C,poly D,int k) {
if(k==1) {return poly(0,0);}
poly f0=get_poly(C.extend(k>>1),D.extend(k>>1),k>>1);
poly T=(C*f0.cexp(k)).extend(k);
poly Z=T+D-(T*f0).extend(k);
poly U=T.ig().cexp(k);
poly V=(Z*U.cinv(k)).extend(k).ig();
return (U*V).extend(k);
}
int n,a,b;
int main() {
n=rd();
poly A(n,0), B(n,0);
int a=rd(), b=rd();
for(int i=1;i<=a;i++) {
int x=rd();
A[x]=cb.ifac[x];
}
for(int i=1;i<=b;i++) {
int x=rd();
B[x]=cb.ifac[x];
} B[0]=1;
poly C(n,0),D;
for(int i=0;i<=n;i++)
C[i]=mul(sgn(i),cb.ifac[i]);
C=(A*C).extend(n+1);
D=B-A;
int k=1; for(;k<=n;k<<=1);
poly f=get_poly(C,D,k);
cout<<mul(f[n],cb.fac[n]);
}