前言
本文的代码部分均采用伪代码+代码的形式，帮助有些想挑战自己的小白同学可以自己通过伪代码敲出代码！
简介
决策树（Decision Tree)是一种十分常用的分类方法。作为一种有监督学习，它对特征属性和样本标签之间的映射关系进行建模。相对于K-近邻算法，决策树的主要优势在于数据形式非常容易理解。而决策树之所以称为树，是因为其处理数据的过程可以用树来表示。理论总是那么难以理解，那我们直接上例子吧
一个例子
表1的数据包括5个样本，其特征分别为A，B，样本标签用L表示。特征值和样本标签都只有两种取值：是，否。
现在，我们先尝试用两个特征来对样本进行划分，并用树结构表示：
从图1中我们可以看出：
当特征A的值为否时（即样本4，5），样本标签均为否。因此我们可以预测当A为否时，无论B为何值，样本标签为否
当特征A的值为是时（即样本1，2，3），此时标签不太好分了（有是，也有否），因此我们再用B来进行划分：
当A为是，B为否时（即样本3），样本标签均为否。因此我们可以预测当A为是，B为否时，样本标签为否。
当A为是，B为是时（即样本1，2），样本标签均为是。因此我们可以预测当A为是，B为是时，样本标签为是。
此时我们就将样本都分完了，如果再给我们一组特征值，我们能够轻松地通过特征值，找到“对应”的样本标签了。是不是很简洁明了？
现在探讨一个问题。显而易见，数据集有多个特征，因而也有多种划分方式（比如对于表1我们也可以先对B进行划分），划分数据集的大原则是：把无序的数据变得更加有序。而哪种数据划分方式是最好的数据划分呢？接下来我们引入熵和信息增益的概念。
熵
不要被这个很学术的名词吓到了哈~其实，只要你了解了这个名词之后，你就可以…拿它去装逼了。
熵这个名字起源于信息论之父克劳德·香农，据说在香农写完信息论之后，冯·诺伊曼建议使用“熵”这个术语，因为大家都不知道它是什么意思。
我的理解是，熵就是信息的不确定性。比如说，一个房间如果全部是口罩，那么它的信息量是很低的，而另一个房间里既有口罩，也有防护服，消毒液等等，我们就说它信息量较大。换言之，可能值越多，信息越不确定，熵越大。给出计算熵的公式：
其中P(xi)为可能值为i的概率，n为可能值的数目。举个例子，对于表1的样本标签，共有两种可能值，其中值为’是’的概率是0.4，值为’否’的概率是0.6，因此其熵为：-0.4log(0.4)-0.6log(0.6) = 0.97
下面贴出计算熵的伪代码：
for 实例 in dataSet:
建立key值为样本标签值，value值为标签值出现的次数的字典
通过每个实例更新该字典
for key in 字典:
计算每个标签出现的频率
更新香农熵
返回香农熵
代码如下：
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntries = len(dataSet) # 数据集一共有多少个实例
labelCounts = {} # 定义一个字典，key为标签的可能值，value为该可能值的个数
for featVec in dataSet:
currentLabel = featVec[-1]
if currentLabel not in labelCounts.keys(): # 如果现在字典中没有该可能值，则初始化其value为0
labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1
shannonEnt = 0.0 # 初始化香农熵为0
for key in labelCounts:
prob = float(labelCounts[key])/numEntries
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) # 计算香农熵
return shannonEnt
划分数据集
求得数据集的熵之后，我们就要通过特征的划分，来降低数据集的熵，这个降低的值，就是信息增益。信息增益的计算公式为（这个公式是我为了解释清楚而自己定义的，没有任何来历的）：
其中n为该特征的可能值个数（即数据集被该特征划分成了多少块），Pi为第i块数据子集中的实例占整个数据集的比例，Hi为第i块数据子集的信息熵。所以，我们之前所要找的最好的划分方式，就是用信息增益最大的特征来进行划分（这里假设我们已经找到这个特征啦）。
划分数据集的伪代码如下：
# 函数参数为数据集dataSet，划分数据集的特征A， 划分后这一块数据子集对应的特征值V
创建空列表r
for 实例 in dataSet:
if 该实例的特征A的值为V:
将该实例的特征A去掉后添加到r中
返回r
代码如下：
def splitDataSet(dataSet, axis, value): # 输入参数分别为：待划分的数据集，划分数据集的特征，划分后这一块数据子集对应的特征值
retDataSet = [] # 建立新的list对象，存储划分后的数据子集
for featVec in dataSet: # 遍历数据集，一旦发现符合要求的实例，则将其元素抽取，并添加到新建的列表中
if featVec[axis] == value:
reducedFeatVec = featVec[:axis]
reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
retDataSet.append(reducedFeatVec)
return retDataSet
接下来我们将遍历整个数据集，循环计算香农熵和splitDataSet()函数，找到最好的划分方式，其伪代码如下：
计算原始香农熵
for 每个特征:
for 该特征的每个特征值:
用该特征值划分数据集
求得划分后数据子集的信息熵之和
求得该特征的信息增益
返回信息增益最大的特征
代码如下：
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) # 计算整个数据集的原始香农熵
bestInfoGain = 0.0
bestFeature = -1 # 初始化最大信息增益和最佳特征
for i in range(numFeatures): # 遍历每个特征
featList = [example[i] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featList) # 集合（set）数据类型，得到featList中不重复的值
newEntropy = 0.0
for value in uniqueVals: # 遍历当前特征中的所有唯一属性值，对每个特征值都划分一次数据集
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
infoGain = baseEntropy - newEntropy # 计算当前特征的信息增益
if infoGain > bestInfoGain :
bestInfoGain = infoGain
bestFeature = i # 比较所有特征的信息增益，返回最好划分的特征索引值
return bestFeature
递归构建决策树
目前我们已经了解了从数据集构造决策树算法所需要的子功能模块，其工作原理为：
得到原始数据集，然后基于最好的特征划分数据集，由于特征的值可能多余两个，因此可能存在大于两个分支的数据集划分（即一个结点可能有大于两个子结点）。
第一次划分后，数据将被向下传递到树分支的下一个结点，在这个结点上，如果该数据子集的标签不完全一样，我们可以通过另一个特征再次划分数据，因此我们可以采用递归的原则来处理。
递归结束的条件是：程序遍历完所有特征，或者每个叶子结点的数据子集都有相同的标签。当然，还有一种情况，所有特征都被“用完”了，但样本标签依然不是唯一的，此时，我们通常会采用取多数的方法决定该叶子结点的标签。
取多数的伪代码如下：
# 函数参数为数据子集中标签的列表
建立一个字典，key为标签值，value为数据子集中标签值为key的个数
for 字典中的key:
更新字典
根据字典中的value对字典进行排序，返回出现最多的标签
代码如下:
def majorityCnt(classList):
classCount = {} # 建立一个字典，key为标签值，value为数据子集中标签值为key的个数
for vote in classList:
if vote not in classCount.keys():classCount[vote] = 0
classCount[vote] += 1
sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
# .items()将字典分解为形式为([key,value], ...)的元组列表，运算符模块的itemgetter方法按第二个元素的次序对元组进行排序。返回出现次数最多的标签名称
return sortedClassCount
如今我们已经“万事俱备，只欠东风”。而最后一步，就是建树了。
给出建树的伪代码:
#函数参数为数据集dataSet和特征列表labels
if 标签完全相同:
返回标签值
if 遍历完特征:
调用majorityCnt，将其返回值作为返回值
调用chooseBestFeatureToSplit，找到最佳特征b
以b为key建立一个字典myTree
删除labels中的特征b
for 特征b的每一个不重复值value:
myTree[b]的键值为 递归调用该函数(其参数是什么？)
return myTree
下面直接贴上完整的代码吧
from math import log
import operator
def majorityCnt(classList):
classCount = {} # 建立一个字典，key为标签值，value为数据子集中标签值为key的个数
for vote in classList:
if vote not in classCount.keys():classCount[vote] = 0
classCount[vote] += 1
sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
# .items()将字典分解为形式为([key,value], ...)的元组列表，运算符模块的itemgetter方法按第二个元素的次序对元组进行排序
return sortedClassCount
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntries = len(dataSet) # 数据集一共有多少个实例
labelCounts = {} # 定义一个字典，key为标签的可能值，value为该可能值的个数
for featVec in dataSet:
currentLabel = featVec[-1]
if currentLabel not in labelCounts.keys(): # 如果现在字典中没有该可能值，则初始化其value为0
labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1
shannonEnt = 0.0 # 初始化香农熵为0
for key in labelCounts:
prob = float(labelCounts[key])/numEntries
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) # 计算香农熵
return shannonEnt
def createDataSet():
dataSet = [[1, 1, 'yes'],
[1, 1, 'yes'],
[1, 0, 'no'],
[0, 1, 'no'],
[0, 1, 'no']]
label = ['no surfacing', 'flippers']
return dataSet, label
def splitDataSet(dataSet, axis, value): # 输入参数分别为：待划分的数据集，划分数据集的特征，划分后这一块数据子集对应的特征值
retDataSet = [] # 建立新的list对象，存储划分后的数据子集
for featVec in dataSet: # 遍历数据集，一旦发现符合要求的实例，则将其元素抽取，并添加到新建的列表中
if featVec[axis] == value:
reducedFeatVec = featVec[:axis]
reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
retDataSet.append(reducedFeatVec)
return retDataSet
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) # 计算整个数据集的原始香农熵
bestInfoGain = 0.0
bestFeature = -1 # 初始化最大信息增益和最佳特征
for i in range(numFeatures): # 遍历每个特征
featList = [example[i] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featList) # 集合（set）数据类型，得到featList中不重复的值
newEntropy = 0.0
for value in uniqueVals: # 遍历当前特征中的所有唯一属性值，对每个特征值都划分一次数据集
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
infoGain = baseEntropy - newEntropy # 计算当前特征的信息增益
if infoGain > bestInfoGain :
bestInfoGain = infoGain
bestFeature = i # 比较所有特征的信息增益，返回最好划分的特征索引值
return bestFeature
def createTree(dataSet, labels):
classList = [example[-1] for example in dataSet]
if classList.count(classList[0]) == len(classList):
return classList[0]
if len(dataSet[0]) == 1:
return majorityCnt(classList)
bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
bestFeatLabel = labels[bestFeat]
myTree = {bestFeatLabel:{}}
del(labels[bestFeat])
featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featValues)
for value in uniqueVals:
subLabels = labels[:]
myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)
return myTree
myDat, labels = createDataSet()
myTree = createTree(myDat, labels)
print(myTree)
结果如下
{'no surfacing': {0: 'no', 1: {'flippers': {0: 'no', 1: 'yes'}}}}
结语
本文的例子和代码均来自《机器学习实战》第三章
第一次写博客，虽然主要参（zhao）考（ban）了《机器学习实战》，但还是费了一番工夫，其实写博客的过程也是加深自己理解的过程。
之后会努力把数据挖掘的十大算法都陆续写完，这样也好打发宅在家的这段时间。
欢迎大家收藏，但更欢迎大家批评指正哈哈！第一次肯定很多疏漏，包括很多功能我都不太会…谢谢大家！
