由于矩阵问题涉及的很少,所以觉得比较麻烦的是初始矩阵构建,那个有时候需要在纸上画画,还有矩阵的式子怎么套上也是个问题
部分引自某大佬,侵删qwq
http://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52058209
矩阵乘法
矩阵乘法
可以说矩阵就是个二维数组,数存在里面,矩阵乘法的规则:A*B=C ↓
矩阵乘法的规则:
第一个矩阵的第i行与第二个矩阵第j列对应相乘,再将这些数相加,得到一个行列数分别为第一矩阵行数,第二矩阵列数的新矩阵—>
矩阵C的行数等于矩阵A的行数,C的列数等于B的列数
eg:裸的矩阵乘法
LL jza[sz][sz],jzb[sz][sz],ans[sz][sz];
LL ai,aj,bi,bj;
int main()
{
rd(ai),rd(aj);for(ri i=1;i<=ai;++i)for(ri j=1;j<=aj;++j)rd(jza[i][j]);
rd(bi),rd(bj);for(ri i=1;i<=bi;++i)for(ri j=1;j<=bj;++j)rd(jzb[i][j]);
for(ri i=1;i<=ai;++i)
for(ri j=1;j<=bj;++j)
for(ri k=1;k<=aj;++k)
ans[i][j]+=jza[i][k]*jzb[k][j];
for(ri i=1;i<=ai;++i)
{
for(ri j=1;j<=bj;++j){
printf("%lld ",ans[i][j]);
}puts("");
}return 0;
}
矩阵快速幂
矩阵快速幂:就是算A^n:
求法:把快速幂算法中的乘法改成矩阵的乘法就可以了
eg:矩阵快速幂
LL n,k;
struct matr{
LL m[250][250];
}ans,base;
matr mult(matr a,matr b){
matr tmp;
for(ri i=1;i<=n;++i)
for(ri j=1;j<=n;++j){
tmp.m[i][j]=0;
for(ri k=1;k<=n;++k)
tmp.m[i][j]=(tmp.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mo;
}
return tmp;
}
void ksm(LL k){
for(ri i=1;i<=n;++i)
for(ri j=1;j<=n;++j)
base.m[i][j]=ans.m[i][j];
while(k){
if(k%2==1)
ans=mult(ans,base);
base=mult(base,base);
k/=2;
}
}
int main(){
rd(n),rd(k);
for(ri i=1;i<=n;++i)for(ri j=1;j<=n;++j)rd(ans.m[i][j]);
ksm(k-1);
for(ri i=1;i<=n;++i)
{
for(ri j=1;j<=n;++j)
printf("%lld ",ans.m[i][j]);
printf("\n");
}
}
应用:求斐波那契
eg:矩阵乘法求斐波那契
主要通过把数放到矩阵的不同位置,然后把普通递推式变成”矩阵的等比数列”,最后快速幂求解递推式
难点在初始矩阵的构造上,不好想,对于矩阵问题涉及的很少qwq【其实是做的少的小白之言】
struct matr{
LL m[2][2];
}ans,base;
LL n,k;
matr mult(matr a,matr b){
matr tmp;
for(ri i=0;i<2;++i)
for(ri j=0;j<2;++j)
{
tmp.m[i][j]=0;
for(ri k=0;k<2;++k)
tmp.m[i][j]=(tmp.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
}
return tmp;
}
LL ksm(LL n){
base.m[0][0]=1,base.m[0][1]=1,base.m[1][0]=1,base.m[1][1]=0;
ans.m[0][0]=1,ans.m[0][1]=0,ans.m[1][0]=0,ans.m[1][1]=0;
while(n)
{
if(n%2==1)
ans=mult(ans,base);
base=mult(base,base);
n/=2;
}
return ans.m[0][1];
}
int main(){
while(scanf("%lld",&n))
{
if(n==-1)
break;
printf("%lld\n",ksm(n));
}return 0;
}
总结
主要是因为不会所以这么快就总结起来了,对于矩阵快速幂来说,
形如线性方程函数这样的式子来说
我么可以构造这样的初始矩阵
a[0][0]=m+1,a[0][1]=-m,
a[1][0]=1, a[1][1]=0,
ans[0][0]=1;
进行快速幂时使用非递归的快速幂(wwq测得200*200的矩阵好像仅仅四次之后就爆栈)
inline void mult(lo a[2][2],lo b[2][2])
{
lo c[2][2]={0,0,0,0};
for(ri i=0;i<2;i++)
for(ri j=0;j<2;j++)
for(ri k1=0;k1<2;k1++)
c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k1]%k)*(b[k1][j]%k)%k)%k;
for(ri i=0;i<2;i++)
for(ri j=0;j<2;j++)
b[i][j]=c[i][j];
}
inline void ksm()
{
while(t)
{
if(t&1)
mult(a,ans);
mult(a,a);
t>>=1;
}
}