背景
单纯形方法(simplex method)是求解线性规划问题的通用有效算法,于1947年由G.B.Dantaig首先提出,该算法被称为20世纪最成功的算法之一.其基本思想是根据线性规划问题的标准形式,从可行域中的某个初始基可行解出发,按目标函数值增大(或减小)的方式转换到另一个基可行解,直到目标函数值达到最优为止.。
单纯性方法的经济解释
例题
求生产计划问题
解:化为标注形式为
目标函数中松弛变量的价值系数为0,其经济意义是没有被利用的资源,约束条件的系数矩阵为:
(资源不被利用,不能产生利润所以价值系数为0)
取基矩阵(基矩阵不唯一)
对应基矩阵的基变量为:
目标函数用非基变量表示为:
( 用非基变量表示,目的是确定非基变量的系数是否还有正的,看目标函数值是不是还能够增加)
当工厂未做生产时 = = = 0,工时和原材料都没被利用,去 = 4, = 9.工厂不产生利润,z = 0 ,得一个基解
由于目标函数中非基变量的系数都为正,若将非基变量变为基变量,也就是说安排产品生产,就可以增加工厂的利润,首先应选获利最大的产品投产,取目标函数中系数(贡献系数)最大的非基变量转化为基变量,例如取,取 = = 0需满足
计算生产多少利润最大
这表明生产2个单位产品B,正好将4个单位的工时用完,即 = 0,此时消耗原材料 = 8 ,原材料还有1个单位仍未被利用,得新基可行解:
从经济意义上看,4个单位的工时生产2个单位的产品B,即变为非基变量,原线性规划问题转化为
令非基变量 = = = 0,得z = 6
由于目标函数仍有非基变量的系数为正,将从非基变量转换为基变量的线性规划问题
的取值应满足和都大于等于0
目标函数中非基变量系数都为负值,这些变量的增加将会导致目标值得减少,故目前生产方案 = 4 , = 0, = 0, = 0, = 5使目标函数达到最大值z = 8
最优解为:
(生产4个单位的A 产品,时间用完,原材料剩余5个单位。)