题目链接：点击这里

暴力时间复杂度为 $O(nm)$，超时。

分析样例，有整数集合 $S=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}$，质数 $p=\left\{2,3\right\}$

能被 $2$ 整除的有 $S_2=\left\{2,4,6,810\right\}$

能被 $3$ 整除的有 $S_3=\left\{3,6,9\right\}$

所以，根据容斥原理， $|S_2 \cup S_3| = |S_2|+|S_3|-|S_2 \cap S_3| = 5+3-1=7$

推广到 $n$ 和 $m$，奇加偶减：

$S_{p_1} \cup S_{p_2} \cup ... S_{p_m} = |S_{p_1}|+|S_{p_2}|+...+|S_{p_m}|-|S_{p_1} \cap S_{p_2}|- ... -|S_{p_2} \cap S_{p_3}|-...-|S_{p_{m-1}} \cap S_{p_m}|+|S_{p_1} \cap S_{p_2} \cap S_{p_3}|+...$

其中，能被 $p_1$ 整除的集合元素个数为 $|S_{p_1}|=\lfloor \frac{n}{p_1} \rfloor$

由于互质，所以能被 $p_1、p_2、p_3$ 同时整除的集合元素个数为 $|S_{p_1} \cap S_{p_2} \cap S_{p_3}|=\lfloor \frac{n}{p_1*p_2*p_3} \rfloor$

扫描二维码关注公众号，回复： 9904074 查看本文章

其它集合元素个数的计算方法以此类推。

我们知道，子集共有 $2^m-1$ 个，可以利用二进制枚举子集，其时间复杂度为 $O(2^m)$；每个子集还需要算一遍乘法，其时间复杂度为 $O(m)$，因此，总时间复杂度为 $O(2^m*m)$。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 20;

int n, m;
int p[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0 ; i < m; ++i) scanf("%d", &p[i]);
    
    int res = 0;
    for(int i = 1; i < 1 << m; ++i)
    {
        int t = 1, cnt = 0;
        for(int j = 0; j < m; ++j)
        {
            if(i >> j & 1)
            {
                cnt++;
                if((ll)t * p[j] > n)    //p乘起来可能很大
                {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t *= p[j];
            }
        }
        
        if(t != -1)
        {
            if(cnt & 1) res += n / t;
            else    res -= n / t;
        }
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}