问题描述
设m是一个正整数,现在要求将n分解为若干个互不相同的自然数的和,且使得这些自然数的乘积最大。
注意:这个问题不同于剪绳子问题,因为剪绳子问题可以使得每一段重复相等,而此问题必须使得划分出来的每一个数都互斥。
算法设计
对于给定的正整数m,要求计算最优分解方案
数据输入
输入只有1行,表示整数m
输入样例1:
10
输入样例2:
100
数据输出
输出有两行
第一行表示整数m划分的各个自然数,每个数之间有一个空格,划分的数按照升序排列。
第二行表示这个最大的乘积。
输出样例1:
2 3 5
30
输出样例2:
2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
21794572800
思路
贪心算法。如果a+b=n,则|a-b|越小,那么ab越大,如老师所讲,可以将n分解成从2开始的连续自然数的和。
例如:输入n=10,则可以分解为 2、3、4,还剩下1不够5,把这个1倒着加,4 -> 5。
所以,最终分解为2,3,5,结果为23*5=30。
证明见贪心算法-最优分解
代码
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[101];//用来存入划分的每个数
/*
贪心算法。如果a+b=n,则|a-b|越小,那么a*b越大,如老师所讲,可以将n分解成从2开始的连续自然数的和。
例如:输入n=10,则可以分解为 2、3、4,还剩下1不够5,把这个1倒着加,4 -> 5。
所以,最终分解为2,3,5,结果为2*3*5=30。
*/
int main()
{
int m;
cin>>m;//输入待划分的整数
a[1]=2;//使得互斥和乘积最大,a[1]=2,
m=m-2;
int i;
//往后的数依次递增直到不满足条件为止
for(i=1;m>=a[i]+1;i++){
a[i+1]=a[i]+1;
m=m-a[i+1];
}
int n=i;//一共有n个数
//将剩余的不能划分成的数m依次从后往前分配给每一个数,一次分配一个1
//从后往前均匀分配
while(m!=0){
a[i]++;//对a[i]分配一个1
m--;//剩下未分完的数减去1
//一共有n个数,标号为1-n,步长为n
//每次向前偏移距离1,offset=-1
//初始标号start=1,末尾标号end=n
//i=(i-start+offset)%n+start;
i=(i-1-1+n)%n+1;//i在(1-n)中循环向前移动一个距离
}
//p用来存放最大乘积
long long p=1;
//输出最后划分出来的n个数
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<a[i]<<" ";
p=p*a[i];
}
cout<<endl<<p;//输出最大乘积
}