合理分配住房问题

摘 要：
本文研究了合理分配住房的优化问题。鉴于该问题是半定理半定性、多因素的综合选优排序问题，即一个多目标决策问题，我们主要采用层次分析法和Saaty等人提出的1—9尺度来量化排队分房中的指标，给出不同的权重，计算出排队分房职工的量化分数，用来确定排队分房次序方案，以此为基础进行合理分配住房。我们在考虑“分档次加积分”的同时充分体现重视人才，鼓励先进等政策，建立最优数学模型，选择出一套合理的分配方法方案。
在模型中，考虑任何一种分配准则条件的优越性，在排序中都不能是觉得的优越，需要综合实力的优越，首先将各项分房排队的准则条件进行量化，区分各条件中的档次差异确定量化原则，任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1分计算；职级差为1分，8级(处级)算2分，9级(副处级)算1分；每职称每差一级1分，初级算1分，中级算2分，高级算3分;学历每差一档差1分，中专算1分，大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分；爱人情况:院外算1分，院内职工算2分，院内干部算3分；对原奖励得分再加1分。对40人排队职工的各项指标进行量化，确定排队分配住房次序。

一 问题的重述
许多单位都有一套住房分配方案，一般是不同的.某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是:“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房。任职时间相同时再考虑其他条件(如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等)适当加分，从高分到低分依次排队”.我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要由任职先后确定，任职早在前，任职晚在后，即便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位(干部或职工)，甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在后面，这种方案的.七要问题是“按资排辈”，显然不能充分体现歌视人才，鼓励先进等政策。
根据民意测验、80%以上的人认为相关条件为职级、任职时间(为任副处的时间)、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖叻情况.
要解决的问题是:
请你按职级分档次，存同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案.根据表1中的40人情况给出排队次序，并分析说明方案较原方案的合理性。

表1 40个人的基本情况和原方案排序
人 员 职 级 任职时间 工作时间 职称 学历 爱人情况 出生年月 奖励加分
P1 8 1991.6 71.9 中级 本科 院外 1952.9 0
P2 8 1992.12 78.2 高级 硕士 院内职工 1957.3 4
P3 8 1992.12 76.12 中级 硕士 院外 1955.3 1
P4 8 1992.12 76.12 中级 大专 院外 1957.11 0
P5 8 1993.1 74.2 中级 硕士 院外 1956.10 2
P6 8 1993.6 73.5 中级 大专 院外 1955.10 0
P7 8 1993.12 72.3 中级 大专 院内职工 1954.11 0
P8 8 1993.12 77.10 高级 硕士 院内干部 1960.8 4
P9 8 1993.12 72.12 中级 大专 院外 1954.5 0
P10 8 1993.12 74.8 高级 本科 院内职工 1956.3 4
P11 8 1993.12 74.4 中级 本科 院外 1956.12 0
P12 8 1993.12 75.12 高级 硕士 院外 1958.3 2
P13 8 1993.12 75.8 中级 大专 院外 1959.1 0
P14 8 1993.12 75.9 中级 本科 院内职工 1956.7 0
P15 9 1994.1 78.10 高级 本科 院内干部 1961.11 5
P16 9 1994.6 76.11 高级 硕士 院内干部 1958.2 0
P17 9 1994.6 75.9 高级 本科 院内职工 1959.6 1
P18 9 1994.6 75.10 高级 本科 院内职工 1955.11 6
P19 9 1994.6 72.12 初级 中专 院外 1956.1 0
P20 9 1994.6 74.9 中级 大专 院内职工 1957.1 0
P21 9 1994.6 75.2 高级 硕士 院外 1958.11 2
P22 9 1994.6 75.9 中级 硕士 院内职工 1957.4 4
P23 9 1994.6 76.5 中级 本科 院外 1957.7 0
P24 9 1994.6 77.1 中级 本科 院内干部 1960.3 0
P25 9 1994.6 78.10 高级 硕士 院内干部 1959.5 2
P26 9 1994.6 77.5 中级 本科 院内职工 1958.1 0
P27 9 1994.6 78.10 中级 硕士 院内干部 1963.4 1
P28 9 1994.6 78.2 中级 本科 院外 1960.5 0
P29 9 1994.6 78.10 高级 博士 院内干部 1962.4 5
P30 9 1994.6 79.9 中级 本科 院外 1962.9 1
P31 8 1994.12 75.6 中级 大专 院内干部 1958.7 0
P32 8 1994.12 77.10 高级 硕士 院内干部 1960.8 2
P33 8 1994.12 78.7 高级 博士后 院外 1961.12 5
P34 9 1994.12 75.8 高级 博士 院外 1957.7 2
P35 9 1994.12 78.10 高级 博士 院内干部 1961.4 4
P36 9 1994.12 78.10 高级 博士 院内干部 1962.12 6
P37 9 1994.12 78.10 中级 本科 院内职工 1962.12 0
P38 9 1994.12 79.10 中级 本科 院内干部 1963.12 0
P39 9 1995.1 79.10 中级 本科 院内干部 1961.7 0
P40 9 1995.6 80.1 高级 硕士 院内干部 1961.3 4

二 符号的说明
T(i)n表示排队分房考核准则条件。
Pi 表示40个排队分房的职工。
三 问题的分析
由题意可知，该问题半定量半定性、多因索的综合选优排序问题，是一个多月标决策问题，我们的主要利用层次分析法对此做出决策。
鉴于原来按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义.上讲也有一定的合理性.现在捉出要充分体现币视人才、鼓励先进等政策.但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑。于是可以认为相关的8项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分.因此、假设8项条件所起的作用依次任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况。这样能够符合大多数人的利益。任职时时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现.任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越。
由上面的分析，首先将各项条件进行址化，为了区分各条件中的档次差异确定缺化原则如下:
任职时间、工作时间、出生年月均按每月O.1分计算;职级差为1分。8级(处级)算2分5级(副处级)算1分;职称每差一级1分，初级算1分，中级算2分，高级算3分;学历每差一档差1分，中专算1分，大专、本科、硕十、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分;爱人情况:院外算1分，院内职工算2分，院内下部算3分;对原奖励得分再加l分.对40人的量化分数如表2.

表2 40个量化分数表
人员 任职时间 工作时间 职级 职称 爱人情况 学历 出生年月 奖励加分
P1 8.3 32 2 2 1 3 52.4 1
P2 6.5 24.3 2 3 2 4 49.4 5
P3 6.5 25.7 2 2 1 4 51.8 2
P4 6.5 25.7 2 2 1 2 48.6 1
P5 6.4 29.1 2 2 1 4 49.9 3
P6 5.9 30 2 2 1 2 51.1 1
P7 5.3 31.4 2 2 2 2 52.2 1
P8 5.3 24.7 2 3 3 4 45.3 4
P9 5.3 30.5 2 2 1 2 52.8 1
P10 5.3 28.5 2 3 2 3 50.6 5
P11 5.3 28.9 2 2 1 3 49.7 1
P12 5.3 26.9 2 3 1 4 48.2 3
P13 5.3 27.3 2 2 1 2 47.2 1
P14 5.3 27.2 2 2 2 3 50.2 1
P15 5.2 23.5 1 3 3 3 43.8 6
P16 4.7 25.8 1 3 3 4 48.3 1
P17 4.7 27.2 1 3 2 3 46.7 2
P18 4.7 27.1 1 3 2 3 51 7
P19 4.7 30.5 1 1 1 1 50.8 1
P20 4.7 28.4 1 2 2 2 49.6 1
P21 4.7 27.9 1 3 1 4 47.4 3
P22 4.7 27.2 1 2 2 4 49.3 4
P23 4.7 26.4 1 2 1 3 49 1
P24 4.7 25.6 1 2 3 3 45.8 1
P25 4.7 23.5 1 3 3 4 46.8 3
P26 4.7 25.2 1 2 2 3 48.4 1
P27 4.7 23.5 1 2 3 4 42.1 2
P28 4.7 24.3 1 2 1 3 45.6 1
P29 4.7 23.5 1 3 3 6 43.3 6
P30 4.7 22.4 1 2 1 3 42.8 2
P31 4.1 27.5 2 2 3 2 47.8 1
P32 4.1 24.7 2 3 3 4 45.3 3
P33 4.1 23.5 2 3 1 6 43.7 6
P34 4.1 27.3 1 3 1 5 49 3
P35 4.1 23.5 1 3 3 5 44.5 4
P36 4.1 23.5 1 3 3 5 42.5 7
P37 4.1 23.5 1 2 2 3 42.5 1
P38 4.1 22.3 1 2 3 3 41.3 1
P39 4 22.3 1 2 3 3 44.2 1
P40 3.5 22 1 3 3 4 44.6 5

四 模型的建立
首先建立层次结构、确定准则层对目标层的权重、确定方案层对准则层的权重,确定方案层层对目标层的组合权重，最后综合排序。
1. 层次结构模型的构造
步骤一：确定层次结构，将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层：决策的目的、要解决的问题。
中间层：考虑的因素、决策的准则。
最低层：决策时的备选方案。
对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

图1 模型比例分层结构
步骤二： 通过相互比较，确定下一层各因素对上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构造因素判断矩阵。
步骤三：由矩阵的特征值确定判别的一致性；由相应的特征向量表示各因素的影响权重，计算权向量。
步骤四： 通过综合计算给出最底层（各方案）对最高层（总目标）影响的权重，权重最大的方案即为实现目标的最由选择。

2. 因素判断矩阵
   比较n个因素y=(y1,y2,…,yn)对目标 z 的影响.采用两两成对比较，用aij表示因素 yi与因素yj对目标z的影响程度之比。四个等级的比例问题，我们采用Saaty等人提出的1-9尺度（见表1），得到“正互反矩阵”R。

尺度aij 含义
1 Ci与Cj的影响相同
3 Ci比Cj的影响稍强
5 Ci比Cj的影响强
7 Ci比Cj的影响明显的强
9 Ci比Cj的影响绝对的强
2，4，6，8 Ci与Cj的影响之比在上述两个相邻等级之间
表1 1-9尺度的含义

根据假设8项条件在分房方案中所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖肋情况;准则层的8个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等，因
此，构造比较矩阵如下:
A = [ 1 2 1 3 4 6 8 4 ;
1/2 1 1/2 3/2 2 3 4 2;
1 2 1 3 4 6 8 4;
1/3 2/3 1/3 1 4/3 2 8/3 4/3;
1/4 1/2 1/4 3/4 1 3/2 2 1
1/6 1/3 1/6 1/2 2/3 1 4/3 2/3;
1/8 1/4 1/8 3/8 1/2 3/4 1 1/2;
1/4 1/2 1/4 3/4 1 3/2 2 1 ]
3. 一致性与权向量
为了检验分层权值的一致性，利用一致性指标公式：

Saaty又引入平均随机一致性指标RT：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当CR = CI / RI < 0.1 时, 认为A 有满意的一致性。
此时取A 的相应于1 的归一化特征向量W=(W1 W2 ,…, Wn)为因素y=(y1,y2,…,yn)对目标z的权向量。由W=( W2 ,…, Wn)分量Wi的大小可以对因素的重要性排序。
利用上述公式就可以计算出所有参评人员排队综合分数。之后按照成绩的高到低排练参评人员，最后确定分配住房方案。

五 程序计算
1． 判断矩阵的最大特征值和对应特征向量 (matlab代码)
clear; clc;
A = [ 1 2 1 3 4 6 8 4 ;
1/2 1 1/2 3/2 2 3 4 2;
1 2 1 3 4 6 8 4;
1/3 2/3 1/3 1 4/3 2 8/3 4/3;
1/4 1/2 1/4 3/4 1 3/2 2 1
1/6 1/3 1/6 1/2 2/3 1 4/3 2/3;
1/8 1/4 1/8 3/8 1/2 3/4 1 1/2;
1/4 1/2 1/4 3/4 1 3/2 2 1 ]

[n,n]=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);

m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);

x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);

p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end

a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i); % A的最大特征值
disp(‘特征向量’);disp(w);
disp(‘特征值’);disp(t);

%-------------- 以下是一致性检验 -------------- (p95)
CI=(t-n)/(n-1); % 一致性指标
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.24 1.41 1.45 1.49 …
1.51 1.54 1.56 1.58 1.59]; % 随机一致性指标
CR=CI/RI(n); % 一致性比率指标
if CR<0.10
disp(‘此矩阵的一致性可以接受!’);
disp(‘CI=’);disp(CI);
disp(‘CR=’);disp(CR);
end

-> 计算结果
特征向量
0.2759
0.1379
0.2759
0.0920
0.0690
0.0460
0.0345
0.0690

特征值
8

此矩阵的一致性可以接受!
CI=
0

CR=
0

2． 方案层对目标层综合权重
W2=[8.3 32 2 2 1 3 52.4 1;
6.5 24.3 2 3 2 4 49.4 5;
6.5 25.7 2 2 1 4 51.8 2
6.5 25.7 2 2 1 2 48.6 1;
6.4 29.1 2 2 1 4 49.9 3;
5.9 30 2 2 1 2 51.1 1;
5.3 31.4 2 2 2 2 52.2 1;
5.3 24.7 2 3 3 4 45.3 4;
5.3 30.5 2 2 1 2 52.8 1;
5.3 28.5 2 3 2 3 50.6 5
5.3 28.9 2 2 1 3 49.7 1;
5.3 26.9 2 3 1 4 48.2 3;
5.3 27.3 2 2 1 2 47.2 1;
5.3 27.2 2 2 2 3 50.2 1;
5.2 23.5 1 3 3 3 43.8 6;
4.7 25.8 1 3 3 4 48.3 1;
4.7 27.2 1 3 2 3 46.7 2;
4.7 27.1 1 3 2 3 51 7;
4.7 30.5 1 1 1 1 50.8 1;
4.7 28.4 1 2 2 2 49.6 1
4.7 27.9 1 3 1 4 47.4 3;
4.7 27.2 1 2 2 4 49.3 4;
4.7 26.4 1 2 1 3 49 1
4.7 25.6 1 2 3 3 45.8 1;
4.7 23.5 1 3 3 4 46.8 3;
4.7 25.2 1 2 2 3 48.4 1;
4.7 23.5 1 2 3 4 42.1 2;
4.7 24.3 1 2 1 3 45.6 1;
4.7 23.5 1 3 3 6 43.3 6;
4.7 22.4 1 2 1 3 42.8 2;
4.1 27.5 2 2 3 2 47.8 1;
4.1 24.7 2 3 3 4 45.3 3;
4.1 23.5 2 3 1 6 43.7 6;
4.1 27.3 1 3 1 5 49 3;
4.1 23.5 1 3 3 5 44.5 4;
4.1 23.5 1 3 3 5 42.5 7;
4.1 23.5 1 2 2 3 42.5 1;
4.1 22.3 1 2 3 3 41.3 1;
4 22.3 1 2 3 3 44.2 1;
3.5 22 1 3 3 4 44.6 5];

W1=[0.27590.1379,0.2759,0.0920,0.0690,0.0460, 0.0345, 0.0690’;]
W=W2*W1
-> 计算结果
W＝（0.0316 0.0301 0.0277 0.0267 0.0285 0.0267 0.0270 0.0288 0.0259 0.0287 0.0258 0.0273 0.0251 0.0264 0.0257 0.0247 0.0240 0.0252 0.0207 0.0226 0.0238 0.0264 0.0216 0.0232 0.0273 0.0224 0.0232 0.0211 0.0260 0.0208 0.0249 0.0265 0.0259 0.0227 0.0242 0.0248 0.0207 0.0214 0.0213 0.0227）T
最终我们得到的排名为如下：
人员 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
排名 1 2 6 10 5 11 9 3 16 4
人员 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20
排名 17 8 20 14 18 34 31 19 13 15
人员 P21 P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29 P30
排名 14 12 26 33 7 23 25 16 28 30
人员 P31 P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39 P40
排名 35 21 27 20 32 37 18 40 39 38

六 模型的所存在的缺点

1. 对于各影响因子权系数的确定，仅仅是我们几个人的估计，并不具备权威性与科学性；
   2.在计算w2时还比较繁琐，还可以更优化；
   3.当数据不止40组时，在排序和计算时会更加繁琐，所以我们进行了以下优化：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define n 40
main()
{
float a[n];
int b[n],cout;
int i,j,t,k;
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%f",&a[i]);
for(i=0;i<n;i++)
{
cout=0;
for(j=0;j<n;j++)
{
if(a[i]>a[j])
cout++;
}
b[i]=cout;

}
for(i=0;i<n;i++)
	printf(“ %d %0.3f\n",b[i],a[i]);
printf("\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
		if(b[i]>b[i+1])
		{
			t=b[i];
			b[i]=b[i+1];
			b[i+1]=t;
		}
	
}
 for(i=0;i<n;i++)
	 printf("%d",b[i]);

}

此时，只需要改变宏变量n，就可以快速得到任何数据的排序。