相关组
前面介绍的向量组都是无关组,是基的子集。现实中,向量组不可能都是无关组,还有相关组。相关组的存在极大增加了线性代数的难度,同时也增加了解决现实问题的难度。
基本性质
定义 相关组 无关组中增加任意数目的能由无关组表示的向量后,扩充后的向量组称为相关组。
二维空间中,无关组为:
V
=
(
(
1
,
0
)
,
(
0
,
1
)
)
V = ((1,0),(0,1))
V = ( ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) ) ,它们是基,因为任意向量能由基表示,增加任意数目的任意向量后就变为相关组。比如相关组为:
V
d
=
(
(
1
,
0
)
,
(
0
,
1
)
,
(
2
,
3
)
,
(
4
,
5
)
)
V_d = ((1,0),(0,1),(2,3),(4,5))
V d = ( ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) ) 。
三维空间中,无关组为:
V
=
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
)
V = ((1,1,0),(0,1,0))
V = ( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) ) ,增加任意数目的能由无关组表示的向量后就变为相关组。比如相关组为:
V
d
=
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
2
,
3
,
0
)
)
V_d = ((1,1,0),(0,1,0),(2,3,0))
V d = ( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 3 , 0 ) ) 。但注意,如果增加了不能由其线性组合表示的向量后,向量组可能是无关的,比如无关组为:
V
d
1
=
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
2
,
3
,
1
)
)
V_{d1} = ((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1))
V d 1 = ( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 3 , 1 ) ) 。理解相关组的难点在于,如果增加了不能由其线性组合表示的向量后,向量组也可能是相关的!比如相关组
V
d
2
=
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
2
,
3
,
1
)
,
(
2
,
3
,
4
)
)
V_{d2} = ((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1),(2,3,4))
V d 2 = ( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 2 , 3 , 4 ) ) 。为什么会有矛盾的结果呢?其实并不矛盾,这在于看问题的角度,这时相关组
V
d
2
V_{d2}
V d 2 中包含的无关组不再是
V
V
V ,而是
V
d
1
V_{d1}
V d 1 !此时新增加的向量
(
2
,
3
,
4
)
(2,3,4)
( 2 , 3 , 4 ) 能由向量组
V
d
1
V_{d1}
V d 1 表示,所以是相关组。这说明任意相关组中,存在很多无关组,因为无关组的任意子集还是无关组,但必然存在一个最大的无关组,其它向量都能由该无关组表示。
定义 极大无关组 相关组中包含的最大无关组。
相关组的极大无关组一般有多个。比如二维空间中包含若干个向量的相关组,任意两个不共线的向量组均是极大无关组。相关组
V
d
2
V_{d2}
V d 2 就包括两个极大无关组,
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
2
,
3
,
1
)
)
((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1))
( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 3 , 1 ) ) 和
(
(
1
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
2
,
3
,
4
)
)
((1,1,0),(0,1,0),(2,3,4))
( ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 2 , 3 , 4 ) ) 。
重要性质
0
\mathbf{0}
0 向量被相关组表示时,存在表示系数组不全为零的表示。
证,相关组有
n
n
n 个向量,为
V
=
(
v
1
,
⋯
,
v
n
)
V=(\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})
V = ( v 1 , ⋯ , v n ) ,根据相关组定义,必有某个向量能被其它向量表示,假设向量
v
n
\mathbf{v_n}
v n 能被其它向量表示,则
v
n
=
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
−
1
v
n
−
1
\mathbf{v_n} = \lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n-1}\mathbf{v_{n-1}}
v n = λ 1 v 1 + ⋯ + λ n − 1 v n − 1 ,两边减去向量
v
n
\mathbf{v_n}
v n ,则
0
=
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
−
1
v
n
−
1
−
v
n
\mathbf{0} = \lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n-1}\mathbf{v_{n-1}} - \mathbf{v_n}
0 = λ 1 v 1 + ⋯ + λ n − 1 v n − 1 − v n 。
重要性质 如果某向量能被相关组表示,则表示必有无穷多种。
证,相关组有
n
n
n 个向量,为
V
=
(
v
1
,
⋯
,
v
n
)
V=(\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})
V = ( v 1 , ⋯ , v n ) ,
0
\mathbf{0}
0 向量的表示系数组为
(
λ
1
,
⋯
,
λ
n
)
(\lambda_1,\cdots,\lambda_{n})
( λ 1 , ⋯ , λ n ) ,不全为0,满足
0
=
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
v
n
\mathbf{0} = \lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n}\mathbf{v_{n}}
0 = λ 1 v 1 + ⋯ + λ n v n , 某向量
y
\mathbf{y}
y ,如果有线性表示,则满足
y
=
α
1
v
1
+
⋯
+
α
n
v
n
\mathbf{y} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}
y = α 1 v 1 + ⋯ + α n v n ,则
y
=
y
+
k
0
=
α
1
v
1
+
⋯
+
α
n
v
n
+
k
(
λ
1
v
1
+
⋯
+
λ
n
v
n
)
\mathbf{y} = \mathbf{y} + k\mathbf{0} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n} +k(\lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n}\mathbf{v_{n}})
y = y + k 0 = α 1 v 1 + ⋯ + α n v n + k ( λ 1 v 1 + ⋯ + λ n v n ) ,
k
k
k 取任意实数,这说明向量
y
\mathbf{y}
y 有无穷多种线性表示!
总结下,某向量如果能被向量组表示,那么如果是无关组则表示唯一,如果是相关组则表示不唯一。
重要性质 向量组中如果某向量能表示为其他向量的线性组合,则是相关组。
以上几个性质都是等价的。
极大无关组、秩和向量组等价
现在从空间角度研究相关组。如同无关组,相关组的线性组合表示的所有向量的集合,构成空间。
定义 向量组的秩 向量组张成空间的维度。
无关组张成空间的维度就是无关组中向量的数量,所以秩就等于向量数量。相关组包含极大无关组,剩下的向量都能由极大无关组表示,所以相关组的线性组合能表示的所有向量集合,与极大无关组能表示的所有向量集合相同,极大无关组就是相关组张成空间的基。从生成空间的角度看,极大无关组和相关组等价。
定义 向量组等价 向量组张成相同空间。
重要性质 相关组的秩等于极大无关组中向量数量,极大无关组是相关组张成空间的基,极大无关组和相关组等价。
如何判断向量组是相关组还是无关组呢?方法和判断基的方法一样。几何上,如果没有向量“躺在”构造的集合所处的子空间内,则是无关组,每个向量都有“张角”,张开了空间的一个维度。如果无关组完整地张开了整个空间,则是基,广义体积不为0!如果有向量“躺在”构造的集合所处的子空间内,则是相关组,该向量没有“张角”。代数方面,是通过判断向量组表示
0
\mathbf{0}
0 向量时,是否只有唯一全0表示,如果是,则是无关组,否则是相关组。
如何寻找相关组的极大无关组呢?几何上,向量组有
n
n
n 个向量,可以向一个空集每次只增加一个向量,集合每增加一个向量后,如果新向量能张开一个维度,即与集合无关,则该向量加入集合,否则丢弃。比如第一个向量肯定可以张开一个维度(直线),加入集合;增加第二个向量时,如果该向量与第一个向量共线,则不能张开一个维度,即与集合相关,丢弃;如果不共线,则能张开一个维度,即与集合无关,加入集合,集合现在包括两个向量。依次进行,每次增加一个向量,该向量或丢弃或加入集合,直到取完所有向量。此时集合就是极大无关组,因为集合内所有向量无关且包含了所有无关的向量。由于取向量的顺序可任意,故极大无关组可有很多。代数上,通过高斯消元法可以找到极大无关组。