向量投影
力的正交分解就是投影,高中时一般向坐标轴投影,有时也需计算力在任意方向分量,即力在这个方向的投影,可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量,即力在平面内的投影,或者计算力垂直于某平面的分量,都可通过投影解决。
几何上,也经常涉及投影,如点到直线或平面的距离,此距离是点到直线或平面的最短距离,求此距离可通过投影解决。
再举个例子,为什么称为“投影”,投影就是物体在太阳光的照射下在地面形成的影子。当太阳光与地面垂直时是正投影,这就是线性代数中研究的投影。当物体与地面垂直时,影子长度(投影)为0。中国古时利用投影来计时,发明了日晷。希望读者根据物理学和几何学,获得投影的几何图像。
当转向高维空间时,投影不局限于低维子空间,可投向任意维度的子空间,所以需要代数方法,但理解需要几何图像。向量在子空间的投影,本质上是向量的正交分解,分解为两个向量:一个向量位于子空间,另一个位于其正交补空间。
子空间
S1 由无关组
V=(v1,⋯,vn) 张成,如何求任意向量
v 在子空间的投影向量呢?这是线性代数基本问题之一,也是理解线性方程的核心之一,必须十分重视。
投影向量位于子空间
S1 内,故其可表示为生成向量的线性组合,这是解决问题的关键一步,令投影向量为
v⊥=α1v1+⋯+αnvn ,只要算出表示系数组就可得到投影向量。另一正交分量
v−=v−v⊥ 位于正交补空间
S1⊥ ,垂直子空间
S1 内任意向量。故两个分向量垂直,内积为零!这是关键第二步。
0=(v⊥,v−)=(v⊥,v−v⊥)=(v⊥,v)−(v⊥,v⊥)得:(v⊥,v)=(v⊥,v⊥)得:(α1v1+⋯+αnvn,v)=(α1v1+⋯+αnvn,α1v1+⋯+αnvn)=ij∑αiαj(vi,vj)
根据正交分解的唯一性,
v⊥ 是唯一的,根据无关组表示向量的唯一性,表示系数组存在且唯一。无关组是任意向量时,利用向量理论很难表示出表示系数,必须用矩阵理论才能方便表示。
无关组是标准正交基时,却很容易求出表示系数。 根据标准正交基性质:
(vi,vj)=0,∀i=j;=1,∀i=j 。代入上式,
(α1v1+⋯+αnvn,v)=α1(v1,v)+⋯+αn(vn,v)=α12+⋯+αn2
显然当
αi=(vi,v),∀i∈[1,n] 时,等式恒成立!故投影向量为:
v⊥=(v1,v)v1+⋯+(vn,v)vn
标准正交基可以看作坐标轴,向量与坐标轴的内积就是向量在该轴方向的分量(坐标值),子空间内所有坐标轴方向的分量相加就是投影!
特别重要的特例,当子空间就是整个空间时,显然投影向量就是向量本身,得:
重要性质
m 维空间任意向量
v 与标准正交基
V 的正交分解:
v=(v1,v)v1+⋯+(vm,v)vm
这就是物理学中的正交分解!得到最简基节同样结论。
下面证明垂线距离最短,几何上就是直角三角形斜边长度大于直角边,线性代数也是这样证明的。假设子空间
S1 内任意向量
u ,向量
v 分解为
v=u+w ,则向量
w 是斜边,向量
v−v⊥ 是垂线,请想象出二维点到直线距离,三维点到平面距离的图像。
∥w∥2=∥v−u∥2=∥(v−v⊥)+(v⊥−u)∥2=∥(v−v⊥)∥2+∥(v⊥−u)∥2≥∥(v−v⊥)∥2
向量
v−v⊥ 位于正交补空间
S1⊥ ,垂直子空间内任意向量,向量
(v⊥,u) 位于子空间内,故
v−v⊥ 垂直
(v⊥−u) ,根据勾股定理,得到中间等式。
向量投影有个应用,就是判断向量是否位于子空间内?如果向量等于子空间投影,则向量位于子空间内。子空间内的向量能被子空间的生成向量组表示。
向量投影的这两个性质对于理解线性方程很关键,特别是最小二乘法。