三维装箱问题的业务场景可以参考电商业务中的纸箱推荐问题. 文中考虑了如下问题.

输入 : 长宽高为 $(L, W, H)$的箱子和 $n$个物品, 其长宽高为 $(l_i, w_i, h_i)$, $i=1,2,\ldots,n$. 假设物品是长方体, 长度不可变(没有弹性). 装箱时可以对商品进行90度旋转, 但不能倾斜.
输出 : 判断所有物品是否能装入箱子.

本文提供一个基于搜索树的精确算法. 基本思想是把三维装箱问题归约(Reduce)到一个有向无环图(Directed Acyclic Graph)上的问题. 算法搜索到一个符合约束条件的有向无环图则返回true, 否则返回false.

物品的位置

如下图所示, 考虑任意一个物品(或者箱子), 我们可以用 $a$, $b$两点的三维坐标描述其位置和大小. 设 $a=(x_a,y_a,z_a)$, 那么 $b=(x_a+L, y_a+W, z_a+H)$, 其中 $L, W, H$是物品的长宽高. 为了方便描述, 我们用 $a$点的坐标表示物品的位置.

有向无环图

假设所有物品能够被装入箱子中. 此时我们考虑一种可行的摆放方式. 对两个物品 $i \neq j$, 分别考虑 $x, y, z$轴方向物品之间的相对位置关系.

首先考虑 $x$轴方向, $i$和 $j$只有两种位置关系

1. $i$在 $j$的左边, 即 $x_i \leq x_j$, 其中 $x_i, x_j$为物品在 $x$轴的坐标;
2. $i$在 $j$的右边, 即 $x_i > x_j$.

下面我们构造有向图 $D_x = (V, u^x, A_x)$. 其中

• $V=\{1, 2, \ldots, n\}$是所有物品的集合.
• $u^x$为顶点权重的集合, 即 $u^x_i=l_i$, $\forall i=1, 2, \ldots, n$.
• $A_x$为弧(Arc)的集合. 如果 $i$在 $j$的左边, 则 $(i, j)\in A_x$, 否则 $(j,i)\in A_x$(如下图所示).
  注意: 如果 $(i, j), (j,k) \in A_x$, 则 $(i,k)\in A_x$. 换句话说, $D_x$无环.

令 $S_x, T_x$分别代表 $D_x$中入度(in-degree)为0和出度(out-degree)为0的点集. 以上图为例, $S_x = \{1, 2\}$(蓝色的点), $T_x=\{4, 6, 7\}$(红色的点). 对任意的 $s\in S_x$, $t\in T_x$, 用 $P^x_{s,t}$代表从 $s$到 $t$的路径. 令 $u(P^x_{s,t})$代表 $P^x_{s,t}$中顶点的总权重, 即
$u(P^x_{s, t}) = \sum_{i\in P^x_{s,t}}{u^x_i} = \sum_{i\in P^x_{s,t}}{l_i}.$

考虑到装入箱子的物品总长度不能超过箱子的长, 我们要求 $\max_{s\in S_x, t\in T_x} u(P^x_{s, t}) \leq L$.

用类似的方法考虑 $y$轴和 $z$轴方向并构造 $D_y=(V, u^y, A_y)$和 $D_z=(V,u^z, A_z)$, 其中

• $u^y_i=w_i$, $u^z_i=h_i$, $i=1, 2, \ldots, n$.
• $(i, j) \in A_y$表示 $i$在 $j$的后方(反之 $i$在 $j$的前方).
• $(i, j) \in A_z$表示 $i$在 $j$的下方(反之 $i$在 $j$的上方).

下面我们得到所有物品能装入箱子的充要条件:

1. $G=(V, E(A_x\cup A_y \cup A_z))$是一个团(Clique), 其中记号 $E(A)$代表有向边集合 $A$对应的无向边集合.
2. $\max_{s\in S_x, t\in T_x} u(P^x_{s, t}) \leq L$.
3. $\max_{s\in S_y, t\in T_y} u(P^y_{s, t}) \leq W$.
4. $\max_{s\in S_z, t\in T_z} u(P^z_{s, t}) \leq H$.

搜索策略

结合前文的讨论, 我们先总结分支的因素:

• 需要比较任意两个物品之间的相对位置, 共有 $C_n^2$种情况.
• 两个物品之间共有6种相对位置关系: 左右, 后前, 下上.
• 每种物品最多有6种不同的摆放方式: $(l, w, h), (l, h, w), (w, l, h), (w, h, l), (h, l, w), (h, w, l)$.

用 $I_k (1\leq k \leq n)$表示一个装箱问题的实例, 其中物品集合为 $\{1, 2, \ldots, k\}$. 我们搜索的策略是用深度优先的方式依次判断 $I_1, I_2, \ldots, I_n$的可行性. 设 $I_k$可行. 考虑 $I_{k+1}$时, 我们需要对比 $(1, k+1), (2, k+1), \ldots, (k, k+1)$. 此外, 对每个物品对(pair) $(i, k+1)$, $1\leq i\leq k$, 我们要考虑 $6\times 6 = 36$种相对位置和排放方式. 因此, 对 $I_k$的任意一搜索节点, 它的分支数量是 $36k$(示意图如下).

说明 : 从根节点root开始搜索. 第一层是判断 $I_1$是否可行, 由于 $I_1$包含1个物品, 因此只需要考虑6种摆放方式, 即 $(1)^1, \ldots, (1)^6$; 第二层判断 $I_2$是否可行, 需要比较两个物品 $(1, 2)$, 其中每个节点有36个分支, 对应6种相对位置关系和物品2的六种摆放方式的组合; 第三, 四层判断 $I_3$是否可行, 需要比较 $(1,3)$和 $(2,3)$; 依次类推.

注意 : 分支前必须检查两个物品间是否已经有位置关系, 若有, 则当前节点不需要分支(确保无环). 例如, 如果物品1在物品2的左边, 物品2在物品3的左边, 那么物品1一定在物品3的左边, 因此无需比较物品3在物品1左边的情况.

优化策略

1. 物品的排序比较重要. 直观的做法是把物品按照体积由大到小排序.
2. 物品的摆放方式实际上是1-6种. 如果物品是立方体, 则只需要考虑1种摆放方式. 在实际中应该额外考虑三边相同和两边相同的情况.
3. 判定 $I_2$时可以考虑物品的对称性, 因此相对位置只要考虑左, 后, 下.
4. 比较物品间的相对位置时按照"从外到内"的原则, 即右, 前, 上, 左, 后, 下.

可行性判定

考虑三维装箱实例 $I_k$, $1\leq k\leq n$. 令 $D^k_x, D^k_y, D^k_z$为 $x,y,z$轴方向的有向无环图. 令 $D^k=(D^k_x, D^k_y, D^k_z)$. 如上图所示, 我们的搜索过程需要判断 $D^1, D^2, \ldots, D^n$的可行性. 考虑 $D^k$: 顶点个数是 $3k$, 边的个数是 $O(k^2)$, 因此 最长路(顶点权重之和最大) 的计算可以在 $O(k^2)$的时间内完成. 具体来说, 以 $D^k_x$为例, 我们可以维护每个顶点 $i(1\leq i\leq k)$的最长路程. 当考虑 $D^{k+1}_x$时, 例如增加弧 $(i, k+1)$或 $(k+1, i)$, 我们只需要更新 $k+1$所有子节点的最长路程即可.

时间复杂度

搜索树第 $k$层(root是第0层)对应的节点数量是 $36^{k-1}$. 如上图所示, 实例 $I_k(\geq 2)$包含了 $k-1$层. 因此, 从第二层到叶子节点一共有 $n(n-1)/2$层. 因此, 搜索树的节点总数 $N$为:
$N = \sum_{k=1}^{n(n-1)/2} 36^{k-1} + 7 = O(6^{n^2}).$
每个节点判断可行性的时间为 $O(n^2)$. 因此算法的时间复杂度为 $O(6^{n^2}\cdot n^2)$.