算法设计与分析课程复习笔记11——单源最短路径
单源最短路径
最短路径问题
输入:有权有向图G=(V,E)
路径p={
}的权:
最短路径的权:
最短路径的不同形式
- 单源最短路径
从给定的源顶点s到图中其他顶点v ∈ V的最短路径 - 单目的地最短路径
图中的顶点v ∈ V到某个给定的目的顶点t的最短路径
反向图,演变为单源最短路径问题 - 单点对最短路径问题
给定两顶点u和v ,求u到v的最短路径 - 全对点最短路径问题
图中所有点对之间的最短距离
最短路径的优化基础
给定G=(V,E)
权函数
到
的最短路径p
p的部分路径
那么要求:p的部分路径
也是最短路径
权值为负的边
负权边可能形成负权回路,如果从源顶点s能够抵达负权回路的顶点v,则有: w(s, v) = -
回路
最短路径可否有回路?不可以!!!
负权回路将导致:w(s, v) = -
正权回路显然不能加入,因为如有移除,将产生更短的路径
零权回路也不能加入,因为移除不会对最短路径的权产生任何影响
初始化算法
InitializeSingleSource(V,s)
for each v ∈ V
do d[v] ←
π[v] = NIL
d[s] ← 0
所有的最短路径算法都以初始化开始
缩短法
所谓对边(u, v)的缩短,即是检查能否通过顶点u,改善已有的到达v的最短路径
Relax(u,v,w)
if d[v] > d[u] + w(u,v)
then d[v] ← d[u] + w(u,v)
π[v] ← u
所有单源最短路径算法,从初始化算法开始,然后是缩短算法
算法之间的差别在于缩短算法的执行顺序和次数
Bellman-Ford算法
单源最短路径问题,允许负权值边,
返回值:如果从源顶点s没有可抵达的负权值回路,返回‘真’,其余的返回‘假’,无解
思想:遍历所有的边|V – 1|次,每次对每条边执行一次缩短运算
BellmanFord
InitializeSingleSource(V,s)
for i ← 1 to |V|-1
do for each edge (u,v) ∈ E
do Relax(u,v,w)
for each edge (u,v) ∈ E
do if d[v] > d[u] + w(u,v)
then return FALSE
return TRUE
运行开销:
最短路径特性
三角不等式
δ(s, v) ≤ δ(s, u) + w(u, v)
-上限特性
对于任何顶点v, d[v] ≥ δ(s, v)成立
一旦d[v] = δ(s, v)成立, d[v] 便不再改变
- 无通路特性
如果不存在从s到v的通路,则有d[v] = ∞ - 收敛性
如果s~u → v 是一条最短路径,在对边(u, v)进行缩短操作之前的任何时刻有d[u] = δ(s, u), 那么在对边(u, v)进行缩短操作之后的任何时刻有d[v] = δ(s, v) - 路径松弛特性
p = { } 是从源顶点v 到 的最短路径,如果缩短操作是按照( , ), ( , ), . . . , ( , )进行的,即使其中有其他缩短操作穿插,d[ ] = δ(s, )成立
DAG的单源最短路径
思想:
对图进行拓扑排序
依据拓扑排序对边进行缩短操作
DGA中没有负权值回路, 因此存在最短路径
DAG-SHORTEST-PATHS(G,w,s)
topologically sort the vertices of G(拓扑排序)
InitializeSingleSource(V,s)(初始化)
for each vertex u, taken in topologically sorted order(依据拓扑排序顶点顺序)
do for each vertex v ∈ Adj[u]
do Relax(u,v,w)
运行开销:
Dijkstra算法
- 单源最短路径,不存在负权值边界
- 两类顶点的集合,S:集合中顶点的最短路径已经确定,Q:V-S,极小优先队列,Q中的值是最短路径的估计
- 重复的从Q中选择具有最短估计距离的顶点进行处理
Dijikstra(G,w,s)
InitializeSingleSource(V,s)(初始化)
S ← 空集
Q ← V[G]
while Q ≠ 空集
u ← Extract-min(Q)
S ← S ∪ {u}
for each vertex v ∈ Adj[u]
do Relax(u,v,w)
参考:任课教师邱德红教授的课件