题目背景

$zjzj$ 大佬最喜欢的，就是找到一些红的数学题，把他们改变成蓝的，紫的，甚至黑的。

题目描述

有一天， $zjzj$ 大(jù)佬(ruò) 看到了 $fxt$ 蒟(dà)蒻(lǎo)出的一道题 $:$ $wangshengjun33$ 与 $275307894a$ (大佬) 和 $A\_rsj$ (大佬) 以及一坨人在玩石头剪子布。玩着玩着，三人感觉不对劲，人越多越决不出胜负，他们想知道有几种可能决不出胜负。 (注意，本题不计顺序。不计顺序:例如甲出石头，乙出剪刀，丙出布与甲出布，乙出石头，丙出剪刀是同一种可能)

于是 $zjzj$ 大(jù)佬(ruò) 把这道题改成了另一道题 $:$ 有一坨人在玩游戏，每个人可以出 $a，b，c，d$ 的任意一种，规定只有 $a，b，c，d$ 同时出现时才会决不出胜负，问有多少种可能决不出胜负，同样也是不记顺序。

$zjzj$ 大(jù)佬(ruò)又觉得这道题太简单了，于是又改了改 $:$ 有一坨人在玩游戏，每个人可以出 $a，b，c，d，e······$ 总共 $k$ 种中的任意一种，规定只有同时出现 $k$ 种时才会决不出胜负，问有多少种可能决不出胜负，同样也是不记顺序。

$zjzj$ 大(jù)佬(ruò)又觉得太简单了，然后又改了改 $:$ 规定有 $n$ 个人，可以出 $k$ 种时的答案为 $f(k,n)$，求

$\sum_{i=1}^{n}f(i,n)$

$zjzj$ 大(jù)佬(ruò)给这道题评了个橙标签，所以这是第一题 $qwq$。

输入格式

一个数 $:$ $n$

输出格式

一个数，为那个式子的答案 $\%1152921504606846975$

输入输出样例

输入 #1 复制

2

输出 #1 复制

2

说明/提示

对于 $20\%$ 的数据， $1\leq n\leq5$

对于 $40\%$的数据， $1\leq n\leq10$

对于 $60\%$的数据， $1\leq n\leq5000$

对于 $80\%$的数据， $1\leq n\leq 10^5$

对于 $100\%$的数据， $1\leq n\leq5\times10^{10^7}$

思路

这道题嘛，有点意思。

首先，我们换一个 $n$，变成 $5$，则一定要这样：

这样，每一局就已经可以分不出胜负

然后我们只要求剩下的空还可以填的方案数总和

然后，我先把后面的一些排个序，就是这样的： $a,...,a,b,...,b,c,...,c...$，再用数学建模的思想，把切换字母看成横坐标+1，把加一个数看成纵坐标加一，这样就可以得出 $f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}$

这不就是一个杨辉三角吗

那么要求的东西刚好就是同一层的杨辉三角的和

因为杨辉三角是求 $(a±b)^{n-1}$的各项的系数，所以如果把它展开就是 $(a±b)(a±b)...(a±b)$，所以系数和就是总的展开的项的个数 ( 没有合并 ) ，所以系数和就是 $2^{n-1}$

或者，用另一种易懂的方法，就是展开后，我们让每一项的字母的乘积都为1，那么这个系数的总和就是这个式子的值，那么这样的话， $a,b$就要等于1，系数和就是 $2^{n-1}$

所以，只要求 $2^{n-1}$ 的值就可以了(绕了多大的弯啊)

那么，这样还是只有 $80$ 分，所以，看一下这个模数 $1152921504606846975$，就是 $2^{60}-1$ 所以，当 $n=61$ 时，这个值又回到了当 $n=1$ 的时候，所以这样就可以不用这么大的复杂度了

只需要求 $2^{(n-1)\%60}$的值就可以了

比如说我们想要求 $623421\%60$ 的值

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ 10309$
$60\sqrt{}\overline{623421}$
$\ \ \ \ \ \ \ \underline{60\ \ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ {\ \ 23\ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{\ \ 0\ \ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ {\ \ 234}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{180\ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ \ 54}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{0\ \ \ \ \ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ \ 542}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{540\ \ \ \ \ }$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ \ \ \ \ \ 21}$

然后如何实现呢？

1. 输入6,k=6
2. 输入2,k=62%60=2
3. 输入3,k=23%60=23
4. 输入4,k=234%60=54
5. 输入2,k=542%60=2
6. 输入1,k=21%60=21

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
unsigned long long a=1,mod=1152921504606846975;
char c;
int n;
int main(){
	c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9'){n=(n*10+c-'0')%60;c=getchar();}
	for(int i=1;i<n;i++)a*=2;
	cout<<a;
	return 0;
}

谢谢–zhengjun