Description

小蛇是金融部部长。最近她决定制造一系列新的货币。假设她要制造的货币的面值为x1,x2,x3… 那么x1必须为1，xb必须为xa的正整数倍（b>a）。例如 1，5，125，250就是一组合法的硬币序列，而1，5，100，125就不是。不知从哪一天开始，可爱的蛇爱上了一种萌物——兔纸！从此，小蛇便走上了遇上兔纸娃娃就买的不归路。某天，小蛇看到了N只可爱的兔纸，假设这N 只兔纸的价钱分别是a1,a2…aN。现在小蛇想知道，在哪一组合法的硬币序列下，买这N只兔纸所需要的硬币数最少。买兔纸时不能找零。

1<=N<=50, 1<=ai<=100,000

Solution

贪心地想最优策略一定是尽可能用大额硬币
设f[i]表示最小面额为i的最小答案，那么令p为i的最小质因子，f[i/p]可以由f[i]转移
$f[i/p]=min(f[i/p],f[i]+\sum_{j=1}^{n}(a[j]\% i)/(i/p))$
就是这样

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)
#define drp(i,st,ed) for (int i=st;i>=ed;--i)
#define fill(x,t) memset(x,t,sizeof(x))

const int N=400005;

int a[N],f[N];
int low[N],prime[N];

bool not_prime[N];

void pre_work(int n) {
    low[1]=1;
    rep(i,2,n) {
        if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            low[i]=i;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++) {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            low[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int main(void) {
    int n,max=0; scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n) {
        scanf("%d",&a[i]);
        max=std:: max(a[i],max);
    }
    pre_work(max);
    fill(f,63);
    drp(i,max,1) {
        int tot=0;
        rep(j,1,n) tot+=a[j]/i;
        f[i]=std:: min(f[i],tot);
        for (int x=i;x>1;) {
            int y=i/low[x],sum=0;
            rep(j,1,n) sum+=(a[j]%i)/y;
            f[y]=std:: min(f[y],f[i]+sum);
            y=low[x];
            while (x%y==0) x/=y;
        }
    }
    printf("%d\n", f[1]);
    return 0;
}