相关知识介绍
排列 我们把由1,2,3,…,n组成的一个有序数组,称为
n
\ n
n 级排列 。 例如 :12和21都是2级排列,123为3级排列。 那么3145是不是一个5级排列呢? !!! 3145不是5级排列。 注:
n
\ n
n 级排列中的数必须是连续的;
n
\ n
n 级排列一共有
n
!
\ n!
n ! 种。
逆序 在一个
n
\ n
n 级排列中,如果较大的数排在较小的数前面,则称为逆序 ,记作
A
\ A
A 。而逆序的总数称为逆序数 ,记作
N
(
A
)
\ N(A)
N ( A ) 。 例如 :排列4213中,数字“4”比数字“2”大,且排在“2”前面,则该排列是一个逆序。它的逆序数记作
N
\ N
N (4213)=3+1+0=4。(4后面有3个数比4小,2后面有1个数比2小,1后面有0个数比1小。) 逆序数为偶数时,称为偶排列;逆序数为奇数时,称为奇排列。 特别地,对
N
(
123
…
n
)
=
0
\ N(123…n)=0
N ( 1 2 3 … n ) = 0 ,称
123
…
n
\ 123…n
1 2 3 … n 为标准排列,或自然排列。 对
N
(
n
(
n
−
1
)
…
21
)
=
n
−
1
+
(
n
−
2
)
+
…
+
2
+
1
=
(
n
−
1
)
n
2
\ N(n(n-1)…21)=n-1+(n-2)+…+2+1=\frac{(n-1)n}{2}
N ( n ( n − 1 ) … 2 1 ) = n − 1 + ( n − 2 ) + … + 2 + 1 = 2 ( n − 1 ) n 为避免出错,数逆序数时,从第一个数开始,依次数后面有几个比它小的数,再求出累和。
对换 在一个
n
\ n
n 级排列中,交换两个数字的位置,称为对换 。 例如 :排列12345(奇排列)和13245(偶排列)就是数字2和数字3的位置进行了对换。 注:① 一个排列做偶数次对换,奇偶性不变;一个排列做奇数次对换,奇偶性会发生改变。 特别地:一个排列经过1次对换,奇偶性会发生改变。 ② 在
n
\ n
n 级排列中,奇排列、偶排列的个数各有
n
!
2
\frac{n!}{2}
2 n ! 个。
引言
学习
n
\ n
n 阶行列式之前,我们可以先回顾一下二元一次方程组的求解过程。假设有二元一次方程组如下所示:
{
5
x
+
6
y
=
7
9
x
+
4
y
=
3
\begin{cases} 5x+6y = 7 \\ 9x+4y = 3 \end{cases}
{ 5 x + 6 y = 7 9 x + 4 y = 3 通常的思想是:用消元法求解
x
\ x
x 和
y
\ y
y 。 也就是分别将方程组变形为
{
5
×
9
x
+
6
×
9
y
=
7
×
9
①
9
×
5
x
+
4
×
5
y
=
3
×
5
②
\begin{cases}5×9x+6×9y = 7×9\ ① \\9×5x+4×5y = 3×5\ ②\end{cases}
{ 5 × 9 x + 6 × 9 y = 7 × 9 ① 9 × 5 x + 4 × 5 y = 3 × 5 ② 和
{
5
×
4
x
+
6
×
4
y
=
7
×
4
①
9
×
6
x
+
4
×
6
y
=
3
×
6
②
\begin{cases}5×4x+6×4y = 7×4\ ① \\9×6x+4×6y = 3×6\ ②\end{cases}
{ 5 × 4 x + 6 × 4 y = 7 × 4 ① 9 × 6 x + 4 × 6 y = 3 × 6 ② ,再分别用
①
−
②
\ ①-②
① − ② 求得
x
\ x
x 和
y
\ y
y 的值,即:
x
=
3
×
6
−
7
×
4
9
×
6
−
5
×
4
,
y
=
7
×
9
−
3
×
5
9
×
6
−
5
×
4
\ x=\frac{3×6-7×4}{9×6-5×4} ,\ \ y=\frac{7×9-3×5}{9×6-5×4}
x = 9 × 6 − 5 × 4 3 × 6 − 7 × 4 , y = 9 × 6 − 5 × 4 7 × 9 − 3 × 5 假设我们定义一种新的运算:
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
(
1
)
\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}=ad-bc\ \ \ \ (1)
∣ ∣ ∣ ∣ a c b d ∣ ∣ ∣ ∣ = a d − b c ( 1 ) 则上述
x
\ x
x 和
y
\ y
y 的值可以用新运算表示为:
x
=
∣
3
7
4
6
∣
∣
9
5
4
6
∣
,
y
=
∣
7
3
5
9
∣
∣
9
5
4
6
∣
\ x=\frac{\begin{vmatrix}3 & 7 \\4 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}9 & 5 \\4 & 6\end{vmatrix}} ,\ \ y=\frac{\begin{vmatrix}7 & 3 \\5 & 9\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}9 & 5 \\4 & 6\end{vmatrix}}
x = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 4 5 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 4 7 6 ∣ ∣ ∣ ∣ , y = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 4 5 6 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 5 3 9 ∣ ∣ ∣ ∣ 这里提到的新运算
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
\begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix}=ad-bc
∣ ∣ ∣ ∣ a c b d ∣ ∣ ∣ ∣ = a d − b c ,就是我们所要学习的二阶行列式的运算。
二阶行列式
二阶行列式通常写作:
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ① 对任一元素
a
i
j
a_{ij}
a i j ,
i
i
i 是元素
a
i
j
a_{ij}
a i j 的行标,
j
j
j 是元素
a
i
j
a_{ij}
a i j 的列标。例如:
a
11
a_{11}
a 1 1 代表该行列式第1行第1列的元素。 ② 主对角线(左)和次对角线(右)示例: ③ 二阶行列式运算可以简单记忆为:主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积,用式子表示为:
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 1 a 2 2 − a 1 2 a 2 1
小练习 (1) 计算
∣
1
3
7
9
∣
\begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ 1 7 3 9 ∣ ∣ ∣ ∣ 的值
解:
∣
1
3
7
9
∣
=
1
×
9
−
3
×
7
=
−
12
\begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\end{vmatrix}=1×9-3×7=-12
∣ ∣ ∣ ∣ 1 7 3 9 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 × 9 − 3 × 7 = − 1 2
(2) 计算
∣
吱
美
女
雨
∣
\begin{vmatrix}吱 & 美 \\女 & 雨\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ 吱 女 美 雨 ∣ ∣ ∣ ∣ 的值
解:
∣
吱
美
女
雨
∣
=
吱
雨
一
美
女
\begin{vmatrix}吱 & 美 \\女 & 雨\end{vmatrix}=吱雨一美女
∣ ∣ ∣ ∣ 吱 女 美 雨 ∣ ∣ ∣ ∣ = 吱 雨 一 美 女
三阶行列式
与二阶行列式类似的,通常将三阶行列式写作:
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13}\\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 用画线法可以得到三阶行列式的求解结果: 我们可以发现上述结果具有:“三正、三负、共六项” 的特点。
小练习 计算
∣
1
2
0
0
2
1
1
0
1
∣
\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 1 2 2 0 0 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 的值
解:
∣
1
2
0
0
2
1
1
0
1
∣
=
1
×
2
×
1
+
2
×
1
×
1
+
0
×
0
×
0
−
0
×
2
×
1
−
2
×
0
×
1
−
1
×
1
×
0
=
4
\begin{aligned}\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 \\ 1& 0 & 1\end{vmatrix}&=1×2×1+2×1×1+0×0×0-0×2×1-2×0×1-1×1×0\\&=4\end{aligned}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 1 2 2 0 0 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 × 2 × 1 + 2 × 1 × 1 + 0 × 0 × 0 − 0 × 2 × 1 − 2 × 0 × 1 − 1 × 1 × 0 = 4 由画线法,我们可以将三阶行列式展开为如下形式:
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
=
a
11
a
22
a
33
+
a
13
a
21
a
32
+
a
12
a
23
a
31
−
a
13
a
22
a
31
−
a
12
a
21
a
33
−
a
11
a
23
a
32
=
①
+
②
+
③
−
④
−
⑤
−
⑥
\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& a_{13}\\a_{21} & a_{22}& a_{23}\\a_{31} & a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\\&= \ \ \ \ \ \ \ ①\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ②\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ③\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ④\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑤\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑥\end{aligned}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 1 2 a 2 2 a 3 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 1 a 2 2 a 3 3 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 + a 1 2 a 2 3 a 3 1 − a 1 3 a 2 2 a 3 1 − a 1 2 a 2 1 a 3 3 − a 1 1 a 2 3 a 3 2 = ① + ② + ③ − ④ − ⑤ − ⑥ 观察展开式中的每一项,我们可以得到如下结果:
第 i 项
符号
行 标
列 标
列标的逆序数
①
+
123
123
0(偶排列)
②
+
123
312
2(偶排列)
③
+
123
231
2(偶排列)
④
-
123
321
3(奇排列)
⑤
-
123
213
1(奇排列)
⑥
-
123
132
1(奇排列)
由上述对比,我们可以发现,对于三阶行列式的展开式:
行标始终取为标准排列
列标取遍排列的所有可能
从不同行不同列取出三个元素相乘,其符号由列标排列的奇偶性决定
像这样的展开方式,我们称之为按行展开 。
n
\ n
n 阶行列式
由上述规律,我们可以很快的写出n阶行列式按行展开的式子:
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∑
j
1
,
j
2
,
⋯
,
j
n
(
−
1
)
N
(
j
1
j
2
⋯
j
n
)
a
1
j
1
a
2
j
2
⋯
a
n
j
n
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots&a_{1n}\\a_{21} & a_{22}&\cdots& a_{2n}\\\vdots &\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1,j_2,\cdots,j_n}(-1)^{N(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 1 a 2 1 ⋮ a n 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = j 1 , j 2 , ⋯ , j n ∑ ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n 行列式通常用字母
D
\ D
D 表示,上述
n
\ n
n 阶行列式也可以直接写作:
D
=
∣
a
i
j
∣
\ D=|a_{ij} |
D = ∣ a i j ∣ 注:只有一个数的行列数,就代表这个数。 例如:
∣
a
11
∣
=
a
11
|a_{11}|=a_{11}
∣ a 1 1 ∣ = a 1 1 、
∣
−
1
∣
=
−
1
|-1|=-1
∣ − 1 ∣ = − 1 (与绝对值符号相区别)
常见的几种三角行列式(除阴影部分有数值,其余部分都为0)
名称
形状
特点
上三角
以主对角线为分割,展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
下三角
以主对角线为分割,展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
对角形
以主对角线为分割,展开式为
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
山寨上三角
以次对角线为分割,展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
( − 1 ) 2 n ( n − 1 ) a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
山寨下三角
以次对角线为分割,展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
( − 1 ) 2 n ( n − 1 ) a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
山寨对角形
以次对角线为分割,展开式为
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
2
a
11
a
12
⋯
a
1
n
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{11}a_{12}\cdots a_{1n}
( − 1 ) 2 n ( n − 1 ) a 1 1 a 1 2 ⋯ a 1 n
小练习 将行列式
D
1
=
∣
1
2
3
8
1
1
0
4
2
2
0
5
1
0
0
9
∣
\ D_1=\begin{vmatrix}1 & 2& 3&8\\1 & 1&0& 4\\2 &2& 0&5\\ 1 & 0& 0&9\end{vmatrix}
D 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 2 1 2 1 2 0 3 0 0 0 8 4 5 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 按行展开。
参考文献
[1] 宋浩.《线性代数》全程高清教学视频 “惊叹号”系列[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/av29971113?from=search&seid=4757026773102990321,2019-6-12.