1、interp1()

插值法

        插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

线性插值法

        线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。

        假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到两点式直线方程：

        假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值：

        同样：

        这样，在代数上就可以表示成为：

                                                                  y = (1 − α)y0 + αy1

        或者，

                                                                   y = y0 + α(y1 − y0)

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        这样通过α就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见 外插值。

已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。

MATLAB中的使用

%{
    MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为：  yi= interp1(x,y,xi,'method')           
    其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 
    'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 
        'nearest'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'pchip'立方插值．缺省时表示线性插值
    注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
%}
x = 0:2*pi;  
y = sin(x);  
xx = 0:0.5:2*pi;  

% interp1对sin函数进行分段线性插值，调用interp1的时候，默认的是分段线性插值  
y1 = interp1(x,y,xx,'linear');  
subplot(2,2,1);
plot(x,y,'o',xx,y1,'r')  
title('分段线性插值')  
  
% 临近插值  
y2 = interp1(x,y,xx,'nearest');  
subplot(2,2,2);
plot(x,y,'o',xx,y2,'r');  
title('临近插值')  
  
%球面线性插值  
y3 = interp1(x,y,xx,'spline');  
subplot(2,2,3);
plot(x,y,'o',xx,y3,'r')  
title('球面插值')  
  
%三次多项式插值法  
y4 = interp1(x,y,xx,'pchip');  
subplot(2,2,4);
plot(x,y,'o',xx,y4,'r');  
title('三次多项式插值')  

运行结果：

参考链接：MATLAB插值函数interp1

2、polyfit() 线性最小二乘拟合

函数命令为：a=polyfit(x,y,m)    % x，y为对应的自变量，m为需要拟合的最高次幂

                       y=polyval(a,x);      %根据拟合的函数得出x对应的因变量的值

函数表达形式为：f(x)=a1*x^m+...+am*x+a_m+1。

程序示例：

当前有数据集

x = 0 : 1 : 21;
y = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 76.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4];

 若想找出一条多项式曲线去描述此数据集，则可使用polyfit()函数与polyval()：

a = polyfit(x, y, 2);
z = polyval(a, x);

作图查看拟合结果：

scatter(x, y);
hold on;
plot(x, z);

得到图像：

3、