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单位根反演

其实就是一个公式，学过 $FFT$的人都能很容易的理解：

$[n|k] = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \omega_n^{ik}$

证明很简单，当 $n|k$时 $n|ik$，所以 $\omega_{n}^{ik} = \omega_n^0 = 1$，那么右边就等于 $1$
否则，就是一个等比数列求和， $\frac{w_{n}^{0}-w_n^{nk}}{1-w_n^k} = 0$，右边等于 $0$

题解

根据 $\binom{n}{i}=\binom{n}{n-i}$，以及异或运算的性质，可以得到以下结论：

当 $n$为奇数的时候， $ans=0$

当 $n$为偶数的时候， $ans = ans_{(n/2 \mod k)} \wedge ans_{ ((n/2+k/2) \mod k)}$

其中 $\wedge$表示异或

所以现在需要解决的问题就是对于某个给定的 $t$，求出 $ans_t$

直接硬写：

$\sum_{i=-t}^{n-t} \binom{n}{i+t} [k|i] \\ = \sum_{i=-t}^{n-t} \binom{n}{i+t} \sum_{j=0}^{k-1} \omega_{k}^{ij} \\ = \sum_{j=0}^{k-1} \sum_{i=-t}^{n-t} \binom{n}{i+t} \omega_{k}^{ij}$

令 $p=i+t$

$\sum_{j=0}^{k-1} \sum_{p=0}^n \binom{n}{p} \omega_{k}^{j(p-t)} \\ = \sum_{j=0}^{k-1} \omega_{k}^{-jt} \sum_{p=0}^n \binom{n}{p} (\omega_{k}^{j})^p \\ = \sum_{j=0}^{k-1} \omega_k^{-jt} (1+\omega_{k}^{j} )^n$

所以直接枚举 $j$然后快速幂就行了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 1500000
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
#define mod 998244353ll
ll n, k, wk[maxn];
ll fastpow(ll a, ll b)
{
    ll t(a%mod), ans(1);
    b=(b%(mod-1)+(mod-1))%(mod-1);
    for(;b;b>>=1,t=t*t%mod)if(b&1)(ans*=t)%=mod;
    return ans;
}
void pre()
{
    ll i;
    wk[0]=1, wk[1]=fastpow(3,(mod-1)/k);
    rep(i,2,k-1)wk[i]=wk[i-1]*wk[1]%mod;
}
ll calc(ll t)
{
    ll i, j, ans=0, mi=1, wkt=fastpow(wk[1],-t);
    rep(j,0,k-1)
    {
        ll tmp=mi*fastpow(1+wk[j],n)%mod;
        (ans+=tmp)%=mod;
        mi=mi*wkt%mod;
    }
    ans=ans*fastpow(k,mod-2)%mod;
    return (ans+mod)%mod;
}
char s[maxn];
ll tmp[maxn];
int main()
{
    ll i, j, len, t1=0, t2;
    scanf("%s%lld",s,&k); len=strlen(s);
    rep(i,0,len-1)(n=n*10+s[i]-0x30)%=(mod-1);
    if(s[len-1]%2==1){printf("0"); return 0;}
    if(k==1){printf("%lld",fastpow(2,n)); return 0;}
    rep(i,0,len-1)tmp[i]=s[i]-0x30;
    rep(i,0,len-1)
    {
        tmp[i+1]+=tmp[i]%2*10;
        tmp[i]/=2;
        t1=(t1*10+tmp[i])%k;
    }
    t2=(t1+k/2)%k;
    pre();
    printf("%lld",calc(t1)^calc(t2));
    return 0;
}