12 二分查找(上):如何用最省内存的方式实现快速查找功能?
1. 二分查找概念
二分查找针对的是一个有序的数据集合,每次通过跟区间中间的元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间缩小为0。
2. 时间复杂度分析
- 时间复杂度
假设数据大小是n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,最坏的情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。所以,每次查找的数据大小是:n,n/2,n/4,…,n/(2k),…,这是一个等比数列。当n/(2k)=1时,k的值就是总共缩小的次数,也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过k次区间缩小操作,时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1,可求得k=log2n,所以时间复杂度是O(logn)。 - 认识O(logn)
1)这是一种极其高效的时间复杂度,有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么?
2)因为logn是一个非常“恐怖“的数量级,即便n非常大,对应的logn也很小。比如n等于2的32次方,也就是42亿,而logn才32。
3)由此可见,O(logn)有时就是比O(1000),O(10000)快很多。
3. 如何实现二分查找?
3.1. 循环实现
代码实现:
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low+(high-low)/2;
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
注意事项:
1)循环退出条件是:low <= high,而不是low < high。
2)mid的取值,使用mid = low+(high-low)/2,而不用mid = (low + high) / 2;,因为如果low和high比较大的话,求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致,可以将除以2转换成位运算,即low+((high-low)>>1),因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。
3)low和high的更新:low = mid - 1,high = mid + 1,若直接写成low = mid,high = mid,就可能会发生死循环。
3.2. 递归实现
// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
if (low > high) return -1;
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
} else {
return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
}
}
4. 使用条件(应用场景的局限性)
- 二分查找依赖的是顺序表结构,即数组。
- 二分查找针对的是有序数据,因此只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。
- 数据量太小不适合二分查找,与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外,就是数据之间的比较操作非常费时,比如数组中存储的都是长度超过300的字符串,那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
- 数据量太大也不是适合用二分查找,因为数组需要连续的空间,若数据量太大,往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
5. 思考
- 如何在1000万个整数中快速查找某个整数,假如一个整数占8个字节,内存为100M?
1)1000万个整数占用存储空间为80MB,占用空间不大,所以可以全部加载到内存中进行处理;
2)用一个1000万个元素的数组存储,然后使用快排进行升序排序,时间复杂度为O(nlogn)
3)在有序数组中使用二分查找算法进行查找,时间复杂度为O(logn) - 如何编程实现“求一个数的平方根”?要求精确到小数点后6位?
def sqrt_binary(num):
"""二分法求开方"""
if num > 1:
low = 1
high = num
else:
low = num
high = 1
mid = float(low) + float((high - low) / 2)
while abs(mid ** 2 - num) > 0.000001:
if mid ** 2 < num:
low = mid
else:
high = mid
mid = (low + high) / 2
return round(mid, 6)
if __name__ == '__main__':
x = float(input())
print(sqrt_binary(x))
- 如果数据使用链表存储,二分查找的时间复杂就会变得很高,那查找的时间复杂度究竟是多少呢?
答:假设链表长度为n,二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
第一次查找中间点,需要移动指针n/2次;
第二次,需要移动指针n/4次;
第三次需要移动指针n/8次;
…
以此类推,一直到1次为止
总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1,这显然是个等比数列,根据等比数列求和公式:Sum = n - 1.
最后算法时间复杂度是:O(n-1),忽略常数,记为O(n),时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同,但是稍微思考下,在二分查找的时候,由于要进行多余的运算,严格来说,会比顺序查找时间慢。
6. 参考资料
- 王争老师在极客时间的专栏《数据结构与算法之美》
- 专栏下的所有评论
7. 声明
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