一、关于单位矢量
单位矢量。顾名思义,它是矢量,有大小,有方向。我们可以这样简单地理解单位矢量怎么在坐标轴上表示:
单位矢量就是在某一空间坐标系中的一点
M,分别在
M 点做与各个经过
M 的坐标面的单位法向量。
我们以直角坐标系、柱坐标系和球坐标系来看看:
【1】 直角坐标系:
对于一个点
M(x1,y1,z1) ,那么我们可以画出经过这个点的坐标平面:
x=x1,
y=y1,
z=z1,然后,单位矢量
ax 就是经过
M 点做平面
x=x1 的法向量,
ay,az 类似。
注意:
ax
,ay
,az
的方向是沿着对应坐标轴数值增大的方向。
那么,对于直角坐标系下的任何一点
M 与原点 O 构成的向量,我们都可以用单位矢量表示:
OM
=Axax
+Ayay
+Azaz
直角坐标系里面,单位矢量就是常矢量,因为它们不会因为点的改变而导致模值或大小的改变。
【2】柱坐标系
但是在柱坐标系里面,情况就不一样了。同样地,我们也是分析一下在柱坐标系里面随便取一个点,看看它的单位矢量是怎么变化的:
但是在学习之前,我们先要确定柱坐标系由那几个量组成:
显然,从图中我们可以看出:柱坐标系由
r,φ,z 三个坐标变量构成。
那么,类似地,我们也是经过
M 点,做出三个曲面:
r=r1,φ=φ1,z=z1,如下:
同样地,
ar
,aφ
,az
都是在
M 点分别做三个曲面:
r=r1,φ=φ1,z=z1 的单位法向量得到的。而从图中,我们也会发现:当
M 点改变的时候,
az
是常矢量,但是,
ar
,aφ
这两个向量都会随着点的改变二导致方向上的改变。因此,它们不是常矢量!
【3】至于球坐标系的分析,完全一样。只不过球坐标系下的三个坐标变量分别是:
ρ,θ,φ
对于球坐标系而言,三个单位矢量都是变矢量。
二、三种坐标系的相互转换
我们先简单看一下坐标值之间的关系,这个其实不需要死记硬背 ,做题的时候直接画出坐标系推导一下就行:
例如:直角坐标系转柱坐标系,我们可以发现下面几个几何规律
x=rcosφy=rsinφr=x2+y2
z=z
那么,很容易知道:
r=x2+y2
φ=acrcos(x2+y2
x)=acrsin(x2+y2
y)z=z
球坐标系类似。但是要特别注意微元在坐标系变换中所发生的改变:
- 柱坐标系的体积微元是
dV=rdrdφdz
- 球坐标系下的体积微元是 :
dV=ρ2sinθdρdθdφ
单位矢量变换的公式一般会给出,只要会计算就行。
Be careful
另外,特别注意:在柱坐标系下,只有当两个向量都处于同一个
φ 平面上时,才能相加;在球坐标系下,只有当两个向量都处于同一个
ρ 平面上时才能相加!!
典型的例子:
因为此处:
φA=φB,所以二者不能直接相加,必须要转换到直角坐标系相加之和再转回柱坐标系