前言

1、均值不等式

2、三角函数 b=1

3、数列观察法

常数代换法

典例剖析

例1 【2020陕西省质量检测一文科第18题】\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(b=1\)，\(\cfrac{a}{c}+\cfrac{c}{a}\)\(=\cfrac{1}{ac}\)\(-1\)；

(1).求角\(B\);

分析：由\(b=1\)，\(\cfrac{a}{c}+\cfrac{c}{a}=\cfrac{1}{ac}-1\)，

变形得到\(\cfrac{a^2+c^2}{ac}=\cfrac{1-ac}{ac}=\cfrac{b^2-ac}{ac}\)，^[1]

即\(a^2+c^2-b^2=-ac\)，代入\(\cos B=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)，

得到\(\cos B=\cfrac{-ac}{2ac}=-\cfrac{1}{2}\)，由于\(B\in (0,\pi)\)，

故\(B=\cfrac{2\pi}{3}\).

(2).若\(\triangle ABC\)的周长为\(1+2\sqrt{6}\)，求\(\triangle ABC\)的面积；

分析：由\(b=1\)，\(\triangle ABC\)的周长为\(1+2\sqrt{6}\)，

则\(a+c=2\sqrt{6}\)，又由于\(B=\cfrac{2\pi}{3}\)，\(b=1\)，

则由\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\)，得到\(1=(a+c)^2-2ac-2ac (-\cfrac{1}{2})\)，

则解得\(ac=23\)，又由\(B=\cfrac{2\pi}{3}\)得到\(\sin B=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，

故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}ac\sin B=\cfrac{23\sqrt{3}}{4}\).

例2 【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第16题】已知三角形的内角\(A、B、C\)所对的对边分别是\(a、b、c\)，若\(a=\sqrt{2}\)，\(b^2-c^2=6\)，则角\(A\)最大时，三角形\(ABC\)的面积为_________。

分析：由\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-2}{2bc}=\cfrac{b^2+c^2-\cfrac{b^2-c^2}{3}}{2bc}=\cfrac{b^2+2c^2}{3bc}\ge \cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，

即\(cosA\)的最小值为\(\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，当且仅当\(b=\sqrt{2}c\)且\(b^2-c^2=6\)，即\(b=2\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}\)时取到等号；

此时\(A\)取到最大值，\(sinA=\cfrac{1}{3}\)，

故\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{6}\times \cfrac{1}{3}=\sqrt{2}\)。

反思：①常数代换，由\(2=\cfrac{6}{3}=\cfrac{b^2-c^2}{3}\)，之所以做常数代换，是为了整理后便于使用均值不等式求\(cosA\)的最值。

②教师备用，也可以这样考虑，\(cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，即\(f(c)=\cfrac{2c^2+4}{2\sqrt{c^2+6}c}(c>0)\)，求函数\(f(c)\)的最小值，如果想运算简单，还可以考虑求\(f(c)^2=\cfrac{(2c^2+4)^2}{4(c^2+6)c^2}(c>0)\)的最小值。

例3 已知\(2m+3n=2，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

分析：\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\times 2\times (\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})\)

\(=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})\)

\(\ge \cfrac{1}{2}(11+4\sqrt{6})\)

当且仅当\(\left\{\begin{array}{l}{2m+3n=2}\\{\cfrac{2m}{n}=\cfrac{12n}{m}}\end{array}\right.\)时取到等号；

①\(\cfrac{1-tan15^{\circ}}{1+tan15^{\circ}}=\cfrac{tan45^{\circ}-tan15^{\circ}}{1+tan45^{\circ}\cdot tan15^{\circ}}=\tan30^{\circ}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\).

②\(a+b=2\)，且\(a>0\)，\(b>0\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值；

③\(1=sin^2\theta+cos^2\theta=tan45^{\circ}=log_ab\cdot log_ba=2sin30^{\circ}\)；

④解对数不等式中的常数对数化，如\(3=log_28\)；解指数不等式中的常数指数化，如\(3=2^{log_23}\)；