题意

你需要构造一个$n$个点的二分图 定义$F(A)$表示左部点集$A$能够到达的右部中的点 使得满足 \(F(A)<|A|\) 的集合恰好有 \(k\) 个 $1≤n≤32 , 0≤k≤2^n$

做法

显然$k=2^n$时无解 反过来考虑$|F(A)|\ge |A|$

结论1：强制$F_ \subset F_{i+1}$，记$d_i=|F_i|$，强制$d_i-d_=0_or1$，令$B={x|d_x-d_=1}\(，设\)|B|=m$，则满足$|F(A)|\ge |A|\(的子集个数为\)\sum\limits_^m {n\choose i}-{B_i-1\choose i}$（不考虑空集）

证明： 这里证明$B_1=1$的，然后$B_1$等于其他数的大体过程也是下面这样，但有些细节不同 $\begin\ F&=\sum\limits_^{n \sum\limits_}{i-1\choose j-1}\ &=\sum\limits_^{m \sum\limits_}{B_{k+1}-1}\sum\limits_^k {i-1\choose j-1}\ &=\sum\limits_^m \sum\limits_^{k \sum\limits_}{B_{k+1}-1}{i-1\choose j-1}\ &={B_2-1\choose 1}+\sum\limits_^m \sum\limits_^k {B_{k+1}-1\choose j}-{B_k-1\choose j}\ &=\sum\limits_^m {n\choose i}+\sum\limits_^m \sum\limits_^{k -{B_k-1\choose j}+\sum\limits_}{B_k-1\choose j}\ &=\sum\limits_^m {n\choose i}-{B_i-1\choose i}\ \end$

结论2：将$d_i-d_$写成二进制的形式，$d_1-0$为最低位，$d_-d_$为最高位。将这些数二进制中$1$的个数为第一关键字，大小为第二关键字，第一关键字升序排，第二关键字降序，那么这个数的排名就是$|F(A)|\ge |A|$的子集个数

证明： $(1)$$1$个数不同 \(F_{m+1} - F_{m} \ge {n\choose m+1}-({n\choose m+1}-{n-m-2\choose 0})={n-m-2\choose 0}\ge 1\) $(2)$$1$个数相同 同$(1)$类似

利用结论2随便搞一下就好了

题外话

公式细节好多啊... 结论$2$的弱化版就是二进制与$k$是一一对应的，不是很懂，哪位大佬知道在下面说一下吧