前言：

一讲到二叉树，我们就会想到其不同于线性结构的，一个直接前驱多个直接后继的性质。

而且当我们学习完其性质时我们就可以通过它的性质进行一些计算。

首先我们了解：

相关概念：

• 结点的度（Degree）：结点的子树个数； 树的度：树的所有结点中最大的度数； 叶结点（Leaf）：度为0的结点；
• 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根节点的父结点；
• 子结点/孩子结点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；
• 兄弟结点（Sibling）：具有同一个父结点的各结点彼此是兄弟结点；
• 路径和路径长度：从结点n₁到n_k的路径为一个结点序列n，n₂，…，n_k。n_i是n_i+1的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度；
• 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点；
• 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙；
• 结点的层次（Level）：规定根结点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1；
• 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度； 满二叉树：树中除了叶子节点，每个节点都有两个子节点；
• 完全二叉树：在满足满二叉树的性质后，最后一层的叶子节点均需在最左边；

二叉树性质：

• 五个性质
• 在二叉树的第ｉ（ｉ>=１）层最多有２^i-1个结点；
• 深度为k(k>=0)的二叉树最少有k个结点，最多有２^k-1个结点；
• 对于任一棵非空二叉树，若其叶结点数为n₀，度为2的非叶结点数为n₂，则n₀ = n₂ ＋１；
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为int_UP（log(2，ｎ+1)）；
• 如果将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号１，２，３，．．．．．．，ｎ，然后按此结点编号将树中各结点顺序的存放于一个一维数组，并简称编号为i的结点为结点i（ｉ>=１ && ｉ<=ｎ）,则有以下关系：**
  （1）若 ｉ= 1，则结点i为根，无父结点；若 ｉ> 1，则结点 i的父结点为结点int_DOWN（ｉ / ２）; （2）若 ２＊ｉ <= ｎ，则结点 ｉ 的左子女为结点 ２＊ｉ；
  （3）若２＊ｉ＜＝ｎ，则结点ｉ的右子女为结点２＊ｉ＋１；
  （4）若结点编号ｉ为奇数，且ｉ！＝１，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为结点ｉ－１；
  （5）若结点编号ｉ为偶数，且ｉ！＝ｎ，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点ｉ＋１；
  （6）结点ｉ所在的层次为 int_DOWN（log（2，ｉ））＋１。

题目：

一个完全二叉树有1000个结点，求他有几个叶子结点，几个度为2的结点？

法一

根据性质四先求出二叉树的深度 深度 K = 10 ；
然后因为为完全二叉树所以其前9层的总结点数为 2⁹-1 = 511 个；
然后求得未层的叶子数为 1000 - 511 = 489 个 ；
最后再算倒数第二层的叶子数：
1.489/2 向上取整 得 245 为第9层没有子树的结点；
2.再求第9层所有的结点 根据性质一 2^9-1=256
3.256 - 245 = 11为除了末层外的叶子数；
最后得总叶子数 489+ 11 = 500
度为2的结点 根据性质二 100-500-1=499

法二

根据性质二
n₀=n₂+1
N=n₀+n₁+n₂=1000
因为是完全二叉树则n₁为0或1
N=1000则1000 = 2*n₂+n₁+1则因为n₂为整所有n₁=1
解得n₂=499 n₀=500

法三

根据二叉树的图解：根据性质五
对结点从上到下从左到右排序，最后一个结点的编号为1000且其一定是左孩子，因为左孩子的编号为其双亲编号的二倍为偶数，也可求出最后一个结点其双亲的编号为500；则500号以后的都为叶子结点 所有叶子结点为500个，则度为2的结点为1000减去叶子结点数再减去最后一个结点为499个