孩子们的游戏

题目

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1

思路

先举一个简单的例子：对于0,1,2,3,4的问题，m = 2, 第一次删除的人编号为1，那么之后重新报号的人的编号为2，问题变为2,3,4,0，为了使得该子问题能够与父问题一致（报号都从0开始，这样就可以采用相同的逻辑处理问题，这是递归经常使用的），现在我们把他们的编号做一下转换：

2 –> 0

3 –> 1

4 –> 2

0 –> 3

这样子问题变为0,1,2,3中删除第m个人，因为问题与父问题一致，所以可以采用相同的逻辑继续求解，这样直到问题规模为1，递归结束，得到最后胜利者。但是我们要记住，子问题的结果都是父问题为了使得问题逻辑一样而改变了编号值，所以我们要向上不断恢复编号值！

这个问题其实是需要找规律的，并且将一个复杂的问题推导成一个简单的数学公式。现在我们假设有一个函数 $f(n,m)$,这个函数代表的是有 $n-1$个人，从 $0,1,2...,n-1$开始往后查，找到第 $m$个数删除，然后再往后找，最终剩下的数字。

在这 $n$个数字中，第一个被删除是 $(m-1)\%n$，这个是取余，也叫做取mod， $(m-1)/n$的余数，被删除的这个数字我们记为k，那么k之后剩下的n-1个数字为 $0,1,2,...,k-1,k+1,...,n-1$,并且下一次开始从 $k+1$计数。相当于在剩下的序列中 $k+1$排在最前面，从而形成 $k+1,...,n-1,0,1,...,k-1$.由于 $n-1$这个序列的规律并不是从0开始计数，所以我们新定义一个函数 $f'(n-1,m)$.如果我们能够找到这两个函数之间的关系，那我们就可以利用程序很简单的进行循环得到最终结果。

不难看出，无论是从n项找到最后的数字还是从n-1项（是原问题的子集）找到最后的数字，结果应该是一样的，因此有 $f(n,m) = f'(n-1,m)$.接下来我们将通过一个简单的映射，将两个不同的函数组成的方程变为一个。

我们将这n-1组成的数字做成一个映射如下：

我们将映射定义为 $p(x) = (x-k-1)\%n$,比如 $x = k+1$时，他的映射为0，依次类推（注意 $-2\%n = n-2$）.该映射的逆映射为 $p^{-1}(x)=(x+k+1)\%n$。由于映射之后的序列与映射之前的序列具有同样的形式，都是从0开始，所以有： $f'(n-1,m)=p^{-1}(f(n-1,m))=[f(n-1,m)+k+1]\%n.$

所以现在就会有了一个关于f的递推公式。考虑边界条件，当n=1时，f返回的就是0，因此递推公式如下： $f(n, m)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & n=1 \\ [f(n-1, m)+m] \% n & n>1 \end{array}\right.$

之后就可以编程实现了！

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def LastRemaining_Solution(self, n, m):
        # write code here
        # f(n)=[f(n-1)+m]%n
        if n == 1:
            return 0
        if n == 0 or m == 0:
            return -1
        value = 0  # f(1)=0
        for i in range(2, n+1):
            ret = (value + m)% i
            value = ret
        return ret