5.1.4 基、维数和坐标

定义1
设 $V$是线性空间，如果 $V$中有 $n$个线性无关的向量，而任意 $n+1$个向量
都线性相关，则称线性空间 $V$是 $n$维的，记作 $dimV=n$,而这 $n$个线性无关的向量称为线性空间 $V$的一组基.
当一个线性空间 $V$中有无穷多个线性无关的向量时，称其为无限维线性空间.
定义2
设 $V$是 $n$维线性空间， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是其一组基，对 $V$中任一向量 $\beta$,存在着唯一一组数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$使得 $\beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i,$称 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$是 $\beta$在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$下的坐标.
定理
如果在线性空间 $V$中有 $n$个线性无关的向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$,且 $V$中任何向量都可用 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，那么 $V$是 $n$维的，而 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$就是 $V$的一组基.

5.1.5

定理
设线性空间 $V$的两组基是 $\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n$和 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$,由 $\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n$到 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的过渡矩阵是 $\mathbf{C}$,则 $\mathbf{C}$是可逆矩阵.如果向量 $\mathbf{\alpha}$在这两组基下的坐标分别是 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和
$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，则 $\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$
下图为三者关系（过渡矩阵，基变换，坐标变换）