题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
说明:m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入:
[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径:
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii
代码及分析
这道题题目是62.不同路径的延伸,求解思路几乎一致,可以参考另一篇博客https://blog.csdn.net/weixin_44412429/article/details/95317271
方法一:动态规划法(二维)
该问题可以通过动态规划的方法进行求解,动态规划最主要的是将其动态转移方程写出来。
由于该机器人只能向下和向右移动,故可以知道,对于位置m,n处,可以到达的路径总数等于位置m,n-1处以及位置m-1,n处可以到达的路径数之和,定义dp[i][j]为位置i,j处可以到达的路径总数,则有dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1].
初始条件:dp[0][1] = 1; 这里是为了计算dp[1][1]。
在这一问中多了一个障碍物的条件,若某处存在障碍物,那么这一点将不会有可以到达的路径,故在求解的过程中,只需判断此处是否有障碍物,有则dp[i][j] = 0,反之dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
if(obstacleGrid.empty())
return 0;
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<vector<long>> dp(m+1,vector<long>(n+1,0));
dp[0][1] = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
if(obstacleGrid[i-1][j-1] == 1)
dp[i][j] = 0;
else
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m][n];
}
复杂度:
时间复杂度: O(mn) 。
空间复杂度: O(mn) 。
方法二:动态规划法(一维)
对于动态规划问题一般二维的动态转移矩阵可以设法考虑是否可以转换为一维数组。
上述方法一中动态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1],每一次循环中,i仅与i-1有关,故可以写成dp[j] += dp[j-1],这相当于对于每一层外循环,dp数组保存第i行对应的可以到达的路径总和。
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
if(obstacleGrid.empty())
return 0;
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
vector<long> dp(n+1,0);
dp[1] = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
if(obstacleGrid[i-1][j-1] == 1)
dp[j] = 0;
else
dp[j] += dp[j-1];
}
}
return dp[n];
}
复杂度:
时间复杂度: O(mn) ;
空间复杂度: O(n) 。
方法三:动态规划法(空间复杂度为O(1))
为了节省空间,我们还可以直接在obstacleGrid矩阵上进行状态转移。
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
if(obstacleGrid.empty())
return 0;
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
for(int i = 0; i < m; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
if(i == 0 && j == 0)
obstacleGrid[0][0] = 1 - obstacleGrid[0][0];
else if(i == 0)
obstacleGrid[0][j] = (obstacleGrid[0][j] == 1)?0:obstacleGrid[0][j-1];
else if(j == 0)
obstacleGrid[i][0] = (obstacleGrid[i][0] == 1)?0:obstacleGrid[i-1][0];
else
obstacleGrid[i][j] = (obstacleGrid[i][j]== 1)?0:(obstacleGrid[i][j-1]+obstacleGrid[i-1][j]);
}
}
return obstacleGrid[m-1][n-1];
}
但这种方法在leetcode上运行会出错,原因是obstacleGrid为vector<vector< int >>类型,会产生溢出。
复杂度:
时间复杂度: O(mn) ;
空间复杂度: O(1) 。