Author：AXYZdong
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前言

连续系统的频域分析相关内容。

一、傅里叶变换的性质

1、线性性质

若 $f_1(t)\longleftrightarrow F_1(j\omega),f_2(t)\longleftrightarrow F_2(j\omega)$

则： $af_1(t)+bf_2(t)\longleftrightarrow aF_1(j\omega)+ b F_2(j\omega)$

2、奇偶性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$ ，则： $f(-t)\longleftrightarrow F(-j\omega)$

若：为 $f(t)$ 实偶函数，则 $F(j\omega)$ 为实偶函数

若：为 $f(t)$ 实奇函数，则 $F(j\omega)$ 为虚奇函数

3、对称性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$ ， 则： $F(jt)\longleftrightarrow 2\pi f( -\omega)$

例： $f(t) = \frac{1}{1+t^2} \longleftrightarrow F(j\omega)=?$

解： $\because e^{-\alpha|t|} \longleftrightarrow \frac{2 \alpha}{\alpha^2+\omega^2}$

当 $\alpha =1时， e^ {-|t|} \longleftrightarrow \frac{2 }{1+\omega^2}$

$\frac{2 }{1+ t^2} \longleftrightarrow 2\pi e^ {-|\omega|}$

$\frac{1 }{1+ t^2} \longleftrightarrow \pi e^ {-|\omega|}$

4、尺度变换特性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$ , 则： $f(at)\longleftrightarrow \frac{1}{|a|} F(j \frac{\omega}{a}) ,a 为非零实数$

当 $0<a<1$ 时 ，时域扩展，频带压缩

当 $a>1$ 时 ，时域压缩，频带扩展

5、时移特性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$ ， 则： $f(t \pm t_0)\longleftrightarrow e^{\pm j \omega t_0} F(j\omega),t_0为实常数$

若 $F(j\omega)=|F(j\omega)| e^{ j \varphi(\omega) }$，则 $f(t \pm t_0)\longleftrightarrow |F(j\omega)| e^{ j [ \varphi(\omega) \pm \omega t_0 ] }$

6、频移特性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$ ， 则： $e^{- j \omega t_0} f(t)\longleftrightarrow F[j(\omega +\omega_0)]$

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$ ， 则： $e^{+ j \omega t_0} f(t)\longleftrightarrow F[j(\omega -\omega_0)]$

注意变换对两边的正负号

7、卷积定理

若 $f_1(t)\longleftrightarrow F_1(j\omega),f_2(t)\longleftrightarrow F_2(j\omega)$ , 则

时域： $f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow F_1(j\omega) \cdot F_2(j\omega)$

频域： $f_1(t)\cdot f_2(t)\longleftrightarrow \frac{1}{2\pi} F_1(j\omega) * F_2(j\omega)$

8、时域微积分特性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$

微分： $f^{(n)}(t) \longleftrightarrow (j \omega)^{(n)} F(j\omega)$

积分： $\int_{-\infty}^{t} f(x)dx \longleftrightarrow \pi F(0)\cdot \delta(\omega) + \frac{F(j\omega)}{j\omega},其中 F(0)=F(j\omega)|_{\omega=0} =\int _{-\infty}^{ \infty}f(t)dt$

9、频域微积分特性

若 $f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)$

微分： $(-jt)^n f (t) \longleftrightarrow F^{(n)}(j\omega)$

积分： $\pi f(0)\cdot \delta(t) + \frac{f(t)}{-jt} \longleftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega} F(jx)dx,其中 f(0)=\frac{1}{2\pi}\int _{-\infty}^{\infty}F(j\omega)d\omega$

二、能量谱

帕斯瓦尔方程：

$E= \int _{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2dt= \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} |F(j \omega)|^2d\omega$

三、周期信号的傅立叶变换

1、正余弦信号的傅里叶变换

$1\longleftrightarrow 2\pi \delta(\omega)$

$e^{j\omega_0 t}\longleftrightarrow 2\pi \delta(\omega -\omega_0)$

$e^{-j\omega_0 t}\longleftrightarrow 2\pi \delta(\omega +\omega_0)$

利用频移特性

$\cos(\omega_0t) =\frac{1}{2}(e^{j\omega_0 t} +e^{-j\omega_0 t}) \longleftrightarrow \pi [\delta(\omega +\omega_0)+ \delta(\omega -\omega_0)]$

$\sin(\omega_0t) =\frac{1}{2j}(e^{j\omega_0 t} -e^{-j\omega_0 t}) \longleftrightarrow j\pi [\delta(\omega +\omega_0)- \delta(\omega -\omega_0)]$

2、一般周期信号的傅里叶变换

将一般周期信号表示为 三角形式 或者 指数形式 ，当然 指数形式 比较方便，下边的变换对就是先将 一般周期信号 分解成 指数形式 ，再利用频移特性

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n \omega_0 t} \longleftrightarrow F(j\omega)=2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \delta(\omega-\omega_0)$

总结

傅里叶变换的性质比较多，通过这些性质可以简便的求出某个信号的傅里叶变换，降低了用定义来求的复杂程度。


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