为了在统一框架里分析周期信号与非周期信号,可以给周期信号也建立傅里叶变换。
有两种方法求周期信号的傅里叶变换:
1. 利用傅里叶级数进行构造
对于周期信号
x(t)
,其傅里叶级数展开式为:
x(t)=∑k=−∞+∞akejkw0t
系数
ak
表示为:
由于
说明周期性复指数信号的频谱是一个冲激,那么我们推广这个关系,可得:
表明:周期信号的傅里叶变换由一系列等间隔的冲激函数线性组合而成,每个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其强度是傅里叶级数系数的
2π
倍。
2. 周期延拓
这种方法先将
x(t)
在一个周期内截断,得信号
xT(t)
,求出
xT(t)
的傅里叶变换
XT(w)
,再对
XT(w)
周期延拓得
X(w)
。
具体来说:
根据
δ
函数性质,有:
x(t)=xT(t)∗∑k=−∞+∞δ(t−kT)
设周期冲激串
∑+∞k=−∞δ(t−kT)
的傅里叶变换为
F(w)
,
由时域卷积定理:
X(w)=XT(w)F(w)
又时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是一个周期为
2πT
的周期冲激串,即:
F(w)=2πT∑k=−∞+∞δ(w−2πkT)
故可得:
X(w)=2πTXT(w)∑k=−∞+∞δ(w−2πkT)
也就是:
X(w)=w0∑k=−∞+∞XT(kw0)δ(w−kw0)
我们对比两种方法得到的结果,可知:
周期信号傅里叶级数的系数
ak=1TXT(kw0)