题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/minimum-adjustment-cost/description

给定一个整数数组，允许修改里面的数字，代价为修改前后数字差的绝对值。再给定一个数target，要求花费最小代价使得数组相邻的两个数的差的绝对值小于等于target，求这个最小代价是多少。

可以用动态规划来解决。设 $f[i][j]$表示将 $A[i]$调整为 $j$的情况下，要达到相邻数相差不超过target所需要的最小代价。那么有 $f[i][j]=\min_{x\in[j-target,j+target]}f[i-1][x]+|A[i]-j|$也就是说 $f[i][j]$可以分为两部分，第一部分是将 $A[i]$调整为 $j$需要的花费，第二部分是在上面这个前提下，调整前 $i$个数所需要的最小花费，而调整前 $i$个数还有一个限制，即 $A[i-1]$的调整范围要满足相邻数差小于target的限制，满足这个限制的情况下选个最小的花费即可。题目中说 $A$里的数都是正数且不大于 $100$，所以调整时可以限制在这个范围里。进一步的，我们可以证明最优解中不会有某个数调整为比 $\max_i A[i]$还大的数，因为如果不然，我们可以将那些调整成比最大值大的数都调整为最大值，那么总花费很显然减少了，而数组相邻数的差也变小了，这显然更优。这样一来就可以优化 $x$的范围。代码如下：

import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class Solution {
    /*
     * @param A: An integer array
     * @param target: An integer
     * @return: An integer
     */
    public int MinAdjustmentCost(List<Integer> A, int target) {
        // write your code here
        if (A == null || A.size() == 0) {
            return 0;
        }
        // 寻找A的最大值
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for (int num : A) {
            max = Math.max(max, num);
        }
        
        int[][] dp = new int[A.size()][max + 1];
        // 先初始化为最大值，然后不停更新
        for (int[] arr : dp) {
            Arrays.fill(arr, Integer.MAX_VALUE);
        }
        // 枚举第0个数要调整为谁
        for (int i = 1; i <= max; i++) {
            dp[0][i] = Math.abs(A.get(0) - i);
        }
        // 开始枚举第i个数要调整为j会得到什么解
        for (int i = 1; i < A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= max; j++) {
            	// 计算A[i - 1]可以调整到的数的范围
                int l = Math.max(j - target, 1), r = Math.min(j + target, max);
                for (int k = l; k <= r; k++) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + Math.abs(A.get(i) - j));
                }
            }
        }
        // 最终答案其实就是调整最后一个数到i的情况下的所有最小花费的最小值
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 1; i <= max; i++) {
            res = Math.min(res, dp[A.size() - 1][i]);
        }
        
        return res;
    }
}

时间复杂度 $O(n*max^2)$，空间 $O(n*max)$， $max$为 $A$里的最大数。