题目地址:
https://www.lintcode.com/problem/minimum-adjustment-cost/description
给定一个整数数组,允许修改里面的数字,代价为修改前后数字差的绝对值。再给定一个数target,要求花费最小代价使得数组相邻的两个数的差的绝对值小于等于target,求这个最小代价是多少。
可以用动态规划来解决。设 表示将 调整为 的情况下,要达到相邻数相差不超过target所需要的最小代价。那么有 也就是说 可以分为两部分,第一部分是将 调整为 需要的花费,第二部分是在上面这个前提下,调整前 个数所需要的最小花费,而调整前 个数还有一个限制,即 的调整范围要满足相邻数差小于target的限制,满足这个限制的情况下选个最小的花费即可。题目中说 里的数都是正数且不大于 ,所以调整时可以限制在这个范围里。进一步的,我们可以证明最优解中不会有某个数调整为比 还大的数,因为如果不然,我们可以将那些调整成比最大值大的数都调整为最大值,那么总花费很显然减少了,而数组相邻数的差也变小了,这显然更优。这样一来就可以优化 的范围。代码如下:
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
public class Solution {
/*
* @param A: An integer array
* @param target: An integer
* @return: An integer
*/
public int MinAdjustmentCost(List<Integer> A, int target) {
// write your code here
if (A == null || A.size() == 0) {
return 0;
}
// 寻找A的最大值
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int num : A) {
max = Math.max(max, num);
}
int[][] dp = new int[A.size()][max + 1];
// 先初始化为最大值,然后不停更新
for (int[] arr : dp) {
Arrays.fill(arr, Integer.MAX_VALUE);
}
// 枚举第0个数要调整为谁
for (int i = 1; i <= max; i++) {
dp[0][i] = Math.abs(A.get(0) - i);
}
// 开始枚举第i个数要调整为j会得到什么解
for (int i = 1; i < A.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= max; j++) {
// 计算A[i - 1]可以调整到的数的范围
int l = Math.max(j - target, 1), r = Math.min(j + target, max);
for (int k = l; k <= r; k++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + Math.abs(A.get(i) - j));
}
}
}
// 最终答案其实就是调整最后一个数到i的情况下的所有最小花费的最小值
int res = Integer.MAX_VALUE;
for (int i = 1; i <= max; i++) {
res = Math.min(res, dp[A.size() - 1][i]);
}
return res;
}
}
时间复杂度 ,空间 , 为 里的最大数。