分治者，分而治之也。

分治法（divide and conquer method）的设计思想是将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到能够直接求解，这自然导致递归。

分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效的算法。

一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成：
（1）划分：把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题。
（2）求解：各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。
（3）合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。

人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。也就是将一个问题划分成大小相等的k个子问题（通常k=2），这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（bal-ancing）子问题的启发式思想。

算法设计实例——数字旋转方阵

【问题】 输出如图所示N×N（1≤N≤10）的数字旋转方阵。

【想法】 用二维数组data[N][N]表示N×N的方阵，观察方阵中数字的规律，可以从外层向里层填数。

在填数过程中，每一层的起始位置很重要。
设变量size表示方阵的大小，则初始时size=N，填完一层则size=size-2；设变量begin表示每一层的起始位置，变量i和j分别表示行号和列号，则每一层初始时i=begin，j=begin。将每一层的填数过程分为A、B、C、D四个区域，每个区域需要填写size-1个数字，且填写区域A时列号不变行号加1，填写区域B时行号不变列号加1，填写区域C时列号不变行号减1，填写区域D时行号不变列号减1。显然，递归的边界条件是size等于0或size等于1。

【算法】 设递归函数Full实现填数过程，算法用伪代码描述如下 ：

算法：Full（number，begin，size）
输入：当前层左上角要填的数字number，左上角的坐标begin，方阵的阶数size
输出：数字旋转方阵

1.如果size等于0，则算法结束；
2.如果size等于1，则data[begin][begin]=number，算法结束；
3.初始化行、列下标i=begin，j=begin；
4.重复下述操作size-1次，填写区域A：
	4.1 data[i][j]=number；number++；
	4.2 行下标i++；列下标不变；
5.重复下述操作size-1次，填写区域B：
	5.1 data[i][j]=number；number++；
	5.2 行下标不变；列下标j++；
6.重复下述操作size-1次，填写区域C：
	6.1 data[i][j]=number；number++；
	6.2 行下标i--；列下标不变；
7.重复下述操作size-1次，填写区域D：
	7.1 data[i][j]=number；number++；
	7.2 行下标不变，列下标j--；
8.调用函数Full在size-2阶方阵中左上角begin+1处从数字number开始填数；

实现如下：

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#include <stdio.h>

#define N 10
int data[N][N] = {0};

void Full(int number, int  begin , int size);
void OutPrint(int size);

int main()
{
	int n;
	printf("请输入方阵的阶数（小于10）: ");
	scanf("%d", &n);
	Full(1, 0, n);
	OutPrint(n);
	return 0;
}
void Full(int number, int begin, int size)
{
	int i, j ,k;
	if(size == 0)
		return;
	if(size == 1)	//递归的边界
	{
		data[begin][begin] = number;
		return;
	}

	i = begin, j = begin;
	// 填写区域 A
	for( k = 0;  k<size-1; k++ ){
		data[i][j] = number;
		number ++;
		i ++;
	}
	// 填写区域 B
	for(k =0; k<size -1; k++){
		data[i][j] = number;
		number ++;
		j++;
	}
	// 填写区域 C
	for(k = 0; k<size-1; k++){
		data[i][j]= number; 
		number ++;
		i--;
	}
	// 填写区域 D
	for(k = 0; k<size-1; k++){
		data[i][j]= number; 
		number ++;
		j--;
	}
	Full(number, begin+1, size-2);   // 递归调用
}

void OutPrint(int size)
{
	int i , j;
	for( i = 0; i<size; i++ ){
		for( j =0; j<size; j++)
			printf("%4d", data[i][j]);
		printf("\n");
	}
	return;		
}

实测结果如下：