Sherman-Morrison公式及其应用

Sherman-Morrison公式

Sherman-Morrison公式以 Jack Sherman 和 Winifred J. Morrison命名，在线性代数中，是求解逆矩阵的一种方法。本篇博客将介绍该公式及其应用，首先我们来看一下该公式的内容及其证明。
(Sherman-Morrison公式)假设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 为可逆矩阵， $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ 为列向量，则 $A+uv^{T}$ 可逆当且仅当 $1+v^{T}A^{-1}u\neq 0$ , 且当 $A+uv^{T}$ 可逆时，该逆矩阵由以下公式给出：

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A+uv^{T})^{-1}=A^{-1}-{A^{-1}uv^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}.$
证明：

(\Leftarrow)

$(\Leftarrow)$ 当

1 + v^{T} A^{- 1} u \neq 0

$1+v^{T}A^{-1}u\neq 0$ 时，令

X = A + u v^{T}, Y = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u}

$X=A+uv^{T}, Y=A^{-1}-{A^{-1}uv^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}$ ,则只需证明

X Y = Y X = I

$XY=YX=I$ 即可，其中

I

$I$ 为n阶单位矩阵。

\begin{aligned} X Y & = (A + u v^{T}) (A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u}) \\ = A A^{- 1} + u v^{T} A^{- 1} - \frac{A A^{- 1} u v^{T} A^{- 1} + u v^{T} A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} \\ = I + u v^{T} A^{- 1} - \frac{u v^{T} A^{- 1} + u v^{T} A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} \\ = I + u v^{T} A^{- 1} - \frac{u (1 + v^{T} A^{- 1} u) v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} \\ = I + u v^{T} A^{- 1} - u v^{T} A^{- 1} \\ = I \end{aligned}

${\displaystyle {\begin{aligned} XY&=(A+uv^{T})\left(A^{-1}-{A^{-1}uv^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}\right)\\ &=AA^{-1}+uv^{T}A^{-1}-{AA^{-1}uv^{T}A^{-1}+uv^{T}A^{-1}uv^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}\\ &=I+uv^{T}A^{-1}-{uv^{T}A^{-1}+uv^{T}A^{-1}uv^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}\\ &=I+uv^{T}A^{-1}-{u(1+v^{T}A^{-1}u)v^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}\\ &=I+uv^{T}A^{-1}-uv^{T}A^{-1}\\ &=I\end{aligned}}}$
同理，有

Y X = I

$YX=I$ .因此，当

1 + v^{T} A^{- 1} u \neq 0

$1+v^{T}A^{-1}u\neq 0$ 时，

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A+uv^{T})^{-1}=A^{-1}-{A^{-1}uv^{T}A^{-1} \over 1+v^{T}A^{-1}u}.$

(\Rightarrow)

$(\Rightarrow)$ 当

u = 0

$u=0$ 时，显然有

1 + v^{T} A^{- 1} u = 1 \neq 0.

$1+v^{T}A^{-1}u=1\neq 0.$ 当

u \neq 0

$u\neq0$ 时,用反正法证明该命题成立。假设

A + u v^{T}

$A+uv^{T}$ 可逆，但

1 + v^{T} A^{- 1} u = 0

$1+v^{T}A^{-1}u = 0$ ，则有

(A + u v^{T}) A^{- 1} u = u + u (v^{T} A^{- 1} u) = (1 + v^{T} A^{- 1} u) u = 0.

$(A+uv^{T})A^{-1}u=u+u(v^{T}A^{-1}u)=(1+v^{T}A^{-1}u)u=0.$
因为

A + u v^{T}

$A+uv^{T}$ 可逆，故

A^{- 1}

$A^{-1}$ u=0,又因为

A^{- 1}

$A^{-1}$ 可逆，故

u = 0

$u=0$ ,此与假设

u \neq 0

$u\neq 0$ 矛盾。因此，当

A + u v^{T}

$A+uv^{T}$ 可逆时，有

1 + v^{T} A^{- 1} u \neq 0.

$1+v^{T}A^{-1}u \neq 0.$

Sherman-Morrison公式的应用

应用1： $A=I$ 时的Sherman-Morrison公式

在Sherman-Morrison公式中，令 $A=I$ ,则有： $I+uv^{T}$ 可逆当且仅当 $1+v^{T}u\neq 0$ , 且当 $I+uv^{T}$ 可逆时，该逆矩阵由以下公式给出：

(I + u v^{T})^{- 1} = I - \frac{u v^{T}}{1 + v^{T} u} .

$(I+uv^{T})^{-1}=I-{uv^{T} \over 1+v^{T}u}.$
再令

v = u

$v=u$ ,则

1 + u^{T} u > 0

$1+u^{T}u > 0$ , 因此，

I + u u^{T}

$I+uu^{T}$ 可逆，且

(I + u u^{T})^{- 1} = I - \frac{u u^{T}}{1 + u^{T} u} .

$(I+uu^{T})^{-1}=I-{uu^{T} \over 1+u^{T}u}.$

应用2：BFGS算法

Sherman-Morrison公式在BFGS算法中的应用，可用来求解BFGS算法中近似Hessian矩阵的逆。本篇博客并不打算给出Sherman-Morrison公式在BFGS算法中的应用，将会再写篇博客介绍BFGS算法，到时再给出该公式的应用，并会在之后补上该博客的链接（因为笔者还没写）。

应用3：循环三对角线性方程组的求解

本篇博客将详细讲述Sherman-Morrison公式在循环三对角线性方程组的求解中的应用。
首先给给出理论知识介绍部分。
对于 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 为可逆矩阵， $u,v\in\mathbb{R}^{n}$ 为列向量， $1+v^{T}A^{-1}u\neq 0$ ，需要求解方程 $(A+uv^{T})x=b.$ 对此，我们可以先求解以下两个方程：

A y = b, A z = u

$Ay=b,\qquad Az=u$ .
然后令

x = y - \frac{v^{T} y}{1 + v^{T} z} z

$x=y-\frac{v^{T}y}{1+v^{T}z}z$ ,该解即为原方程的解，验证如下：

\begin{aligned} (A + u v^{T}) x & = (A + u v^{T}) (y - \frac{v^{T} y}{1 + v^{T} z} z) \\ = A y + u v^{T} y - \frac{v^{T} y}{1 + v^{T} z} A z - \frac{v^{T} y}{1 + v^{T} z} u v^{T} z \\ = b + u v^{T} y - \frac{v^{T} y u + v^{T} y u v^{T} z}{1 + v^{T} z} \\ = b + u v^{T} y - \frac{(1 + v^{T} z) v^{T} y u}{1 + v^{T} z} \\ = b + u v^{T} y - u v^{T} y \\ = b \end{aligned}

${\displaystyle {\begin{aligned} (A+uv^{T})x&=(A+uv^{T})(y-\frac{v^{T}y}{1+v^{T}z}z)\\ &=Ay+uv^{T}y-\frac{v^{T}y}{1+v^{T}z}Az-\frac{v^{T}y}{1+v^{T}z}uv^{T}z\\ &=b+uv^{T}y-\frac{v^{T}yu+v^{T}yuv^{T}z}{1+v^{T}z}\\ &=b+uv^{T}y-\frac{(1+v^{T}z)v^{T}yu}{1+v^{T}z}\\ &=b+uv^{T}y-uv^{T}y\\ &=b\end{aligned}}}$
这样将原方程

(A + u v^{T}) x = b

$(A+uv^{T})x=b$ 分成两个方程，可以在一定程度上简化原方程。接下来，我们将介绍循环三对角线性方程组的求解。
所谓循环三对角线性方程组，指的是系数矩阵为如下形式：

A = [\begin{matrix} b_{1} & c_{1} & 0 & \dots & 0 & a_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & a_{n - 2} & b_{n - 2} & c_{n - 2} & 0 \\ 0 & \dots & \dots & a_{n - 1} & b_{n - 1} & c_{n - 1} \\ c_{n} & 0 & \dots & 0 & a_{n} & b_{n} \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix} b_1&c_1&0&\cdots&0&a_1\\ a_2&b_2&c_2&0&\vdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\vdots&a_{n-2}&b_{n-2}&c_{n-2}&0\\ 0&\cdots&\cdots&a_{n-1}&b_{n-1}&c_{n-1}\\ c_n&0&\cdots&0&a_n&b_n\end{bmatrix}$
循环三对角线性方程组可写成

A x = d

$Ax=d$ ,其中

d = (d_{1}, d_{2}, . . ., d_{n})^{T} .

$d=(d_{1},d_2,...,d_{n})^{T}.$
对于此方程的求解，我们令

u = (γ, 0, 0, . . ., c_{n})^{T}, v = (1, 0, 0, . . ., \frac{a_{1}}{γ})^{T}

$u=(\gamma, 0,0,...,c_{n})^{T}, v=(1,0,0,...,\frac{a_1}{\gamma})^{T}$ , 且

A = A^{^{'}} + u v^{T}

$A=A^{'}+uv^{T}$ ,其中

A^{^{'}}

$A^{'}$ 如下：

A^{^{'}} = [\begin{matrix} b_{1} - γ & c_{1} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & 0 & ⋮ & 0 \\ 0 & ⋱ & ⋱ & ⋱ & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & a_{n - 2} & b_{n - 2} & c_{n - 2} & 0 \\ 0 & \dots & \dots & a_{n - 1} & b_{n - 1} & c_{n - 1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{n} & b_{n} - \frac{a_{1} c_{n}}{γ} \end{matrix}]

$A^{'}=\begin{bmatrix} b_1-\gamma&c_1&0&\cdots&0&0\\ a_2&b_2&c_2&0&\vdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\vdots&a_{n-2}&b_{n-2}&c_{n-2}&0\\ 0&\cdots&\cdots&a_{n-1}&b_{n-1}&c_{n-1}\\ 0&0&\cdots&0&a_n&b_n-\frac{a_1c_n}{\gamma}\end{bmatrix}$

A^{^{'}}

$A^{'}$ 为三对角矩阵。根据以上的理论知识，我们只需要求解以下两个方程

A^{^{'}} y = d, A^{^{'}} z = u ，

$A^{'}y=d,\qquad A^{'}z=u，$
然后，就能根据

y, z

$y,z$ 求出

x

$x$ .而以上两个方程为三对角线性方程组，可以用追赶法（或Thomas法）求解，具体算法可以参考博客：三对角线性方程组(tridiagonal systems of equations)的求解。
综上，我们利用Sherman-Morrison公式的思想，可以将循环三对角线性方程组转化为三对角线性方程组求解。我们将会在下面给出该算法的Python语言实现。

Python实现

我们要解的循环三对角线性方程组如下：

[\begin{matrix} 4 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 6 6 6 8 \end{matrix}]

${\begin{bmatrix} 4&1&{0}&{0}&{2}\\ {1}&{4}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{4}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{4}&{1}\\ {3}&{0}&{0}&{1}&{4}\\ \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}{x_{1}}\\{x_{2}}\\{x_{3}}\\{x_{4}} \\{x_{5}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{7\\6\\ 6\\6\\8}\\\end{bmatrix}}$
用Python实现解该方程的Python完整代码如下：

# use Sherman-Morrison Formula and Thomas Method to solve cyclic tridiagonal linear equation

import numpy as np

# Thomas Method for soling tridiagonal linear equation Ax=d
# parameter: a,b,c,d are list-like of same length
# b: main diagonal of matrix A
# a: main diagonal below of matrix A
# c: main diagonal upper of matrix A
# d: Ax=d
# return: x(type=list), the solution of Ax=d
def TDMA(a,b,c,d):

    try:
        n = len(d)    # order of tridiagonal square matrix

        # use a,b,c to create matrix A, which is not necessary in the algorithm
        A = np.array([[0]*n]*n, dtype='float64')

        for i in range(n):
            A[i,i] = b[i]
            if i > 0:
                A[i, i-1] = a[i]
            if i < n-1:
                A[i, i+1] = c[i]

        # new list of modified coefficients
        c_1 = [0]*n
        d_1 = [0]*n

        for i in range(n):
            if not i:
                c_1[i] = c[i]/b[i]
                d_1[i] = d[i] / b[i]
            else:
                c_1[i] = c[i]/(b[i]-c_1[i-1]*a[i])
                d_1[i] = (d[i]-d_1[i-1]*a[i])/(b[i]-c_1[i-1] * a[i])

        # x: solution of Ax=d
        x = [0]*n

        for i in range(n-1, -1, -1):
            if i == n-1:
                x[i] = d_1[i]
            else:
                x[i] = d_1[i]-c_1[i]*x[i+1]

        x = [round(_, 4) for _ in x]

        return x

    except Exception as e:
        return e

# Sherman-Morrison Fomula for soling cyclic tridiagonal linear equation Ax=d
# parameter: a,b,c,d are list-like of same length
# b: main diagonal of matrix A
# a: main diagonal below of matrix A
# c: main diagonal upper of matrix A
# d: Ax=d
# return: x(type=list), the solution of Ax=d
def Cyclic_Tridiagnoal_Linear_Equation(a,b,c,d):
    try:
        # use a,b,c to create cyclic tridiagonal matrix A
        n = len(d)
        A = np.array([[0] * n] * n, dtype='float64')

        for i in range(n):
            A[i, i] = b[i]
            if i > 0:
                A[i, i - 1] = a[i]
            if i < n - 1:
                A[i, i + 1] = c[i]
        A[0, n - 1] = a[0]
        A[n - 1, 0] = c[n - 1]

        gamma = 1 # gamma can be set freely
        u = [gamma] + [0] * (n - 2) + [c[n - 1]]
        v = [1] + [0] * (n - 2) + [a[0] / gamma]

        # modify the coefficient to form A'
        b[0] -= gamma
        b[n - 1] -= a[0] * c[n - 1] / gamma
        a[0] = 0
        c[n - 1] = 0

        # solve A'y=d, A'z=u by using Thomas Method
        y = np.array(TDMA(a, b, c, d))
        z = np.array(TDMA(a, b, c, u))

        # use y and z to calculate x
        # x = y-(v·y)/(1+v·z) *z
        # x is the solution of Ax=d
        x = y - (np.dot(np.array(v), y)) / (1 + np.dot(np.array(v), z)) * z

        x = [round(_, 3) for _ in x]

        return x

    except Exception as e:
        return e

def main():
    '''
       equation:
       A = [[4,1,0,0,2],
            [1,4,1,0,0],
            [0,1,4,1,0],
            [0,0,1,4,1],
            [3,0,0,1,4]]
       d = [7,6,6,6,8]
       solution x should be [1,1,1,1,1]
    '''

    a = [2, 1, 1, 1, 1]
    b = [4, 4, 4, 4, 4]
    c = [1, 1, 1, 1, 3]
    d = [7, 6, 6, 6, 8]

    x = Cyclic_Tridiagnoal_Linear_Equation(a,b,c,d)
    print('The solution is %s'%x)

main()

输出结果如下：

The solution is [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

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