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背包问题的大致特征

给定 $C$, $(w_i,v_i)$求 $max\sum x_iv_i\leq C,x_i\in\ Interval$

0-1背包问题

0-1是最简单的背包问题,这里 $interval\in \{0,1\}$

0-1递推关系

设 $P(i,w)$为在序列前i个中选取总重不超过w的,使得权值最大.
则 $\forall i,w,\\P(i,w)=Max\{P(i-1,w),P(i-1,w-w_i)+v_i\}$
也就是是否选入第i个.

0-1边界条件

• i=0时P=0.
• w=0时P=0.
• 当wi>W时(第i个成员的权值大于分要求权值),已经选满,不能再选.也为了保证 $0\leq w_i$

实现

递归

很简单,直接按照状态转移填.
虽然会爆栈hhhhh

非递归

构建二维矩阵:

行是前i个元素
列是限制的重量
扫描方式是逐行扫描记忆化.

代码

递归

'''
@Description: 
@Date: 2019-10-31 10:56:33
@Author: I-Hsien
@LastEditors: I-Hsien
@LastEditTime: 2019-10-31 11:22:57
'''


def build(set,maxop:int):#修剪序列当递归调用时
    if maxop==0 or set==[]:
        return 0
    if set[-1][0]>maxop:
        return build(set[:-1],maxop)
    else:
        return max(build(set[:-1],maxop),build(set[:-1],maxop-set[-1][0])+set[-1][1])

if __name__=="__main__":
    maxweight=int(input())#C
    array=input().split()#weight
    brray=input().split()#value
    assert(len(array)==len(brray))
    setop=[]#int list
    for i in range(len(array)):
        setop.append((int(array[i]),int(brray[i])))#setop:[(weight,value)]
    print(build(setop,maxweight))   

输入:

• 总重量限制
• 重量序列
• 价值序列

输出:
最大价值

非递归

记忆化搜索.横向扫描填表.
注意可以忽略weight=0的一列,初始化置为0.

'''
@Description: 改进,非递归
@Date: 2019-10-31 11:39:57
@Author: I-Hsien
@LastEditors: I-Hsien
@LastEditTime: 2019-10-31 12:11:50
'''
import numpy as np

def build(set,maxop:int):
    table=np.zeros((len(set),maxop+1))# An empty table
    for i in range(len(set)):
        for j in range(1,maxop+1):#[1]-[maxop]
            if set[i][0]>j:
                table[i][j]=table[i-1][j]
            else:
                table[i][j]=max(table[i-1][j],table[i-1][j-set[i][0]]+set[i][1])
                #print("max in",table[i-1][j],table[i-1][j-set[i][0]]+set[i][1])
            #print("set",i,j,table[i][j])
    #print(table)
    return table[-1][-1]

if __name__=="__main__":
    maxround=(input().split())
    maxweight=int(maxround[0])#C
    round=int(maxround[1])
    setop=[]#int list
    for _ in range(round):
        temp=input().split()
        setop.append((int(temp[0]),int(temp[1])))#[(weight,value)]
    print(int(build(setop,maxweight)))  

明显的存在大量无用数据,在limit很大时内存占用过大.优化方法参见https://zhuanlan.zhihu.com/p/30959069,暂且留一个坑在这…