素数：一个数只能被1和它本身整除，1不算是素数。
判断从1到n有多少个素数，很简单，大家都会写：

int countPrimes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++)
        if (isPrim(i)) count++;
    return count;
}

// 判断整数 n 是否是素数
boolean isPrime(int n) {
    for (int i = 2; i <= n/i; i++)
        if (n % i == 0)
            // 有其他整除因子
            return false;
    return true;
}

但是如何高效的求出1~n之间有多少个素数呢？
我们知道2是素数，但是2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8…就都不是素数了，所以我们在找出一个素数之后，那么它所有的倍数就都不是素数了。

int countPrimes(int n) {
    boolean[] isPrim = new boolean[n];
    // 将数组都初始化为 true
    Arrays.fill(isPrim, true);
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++){ 
        if (isPrim[i]) {
            count++;
            // i 的倍数不可能是素数了
            for (int j = 2 * i; j < n; j += i) {
                 isPrim[j] = false;
            }
        }      
   }
    return count;
}

当然，上面的代码还是可以再优化的，这也是我看的别的大佬的。
跟我们一般判断素数的方法一样外层循环不用判断到n，判断到sqr（n）就可以了，内层循环也不用从2倍开始，直接从平方开始，比如 i = 4 时算法会标记 4 × 2 = 8等数字，但是这个数字已经被 i = 2 标记了。

int countPrimes(int n) {
    boolean[] isPrim = new boolean[n];
    Arrays.fill(isPrim, true);
    for (int i = 2; i  <= n/i; i++) {
        if (isPrim[i]){ 
            for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                isPrim[j] = false;
            }
        }
   }
    int count = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++){
        if (isPrim[i]) 
            count++;
  }
    return count;
}