前言

  博主近来在学习金融统计方面的知识，感觉甚是晦涩难懂，因此总结了一下知识，便以消化，也期待读者朋友们阅读指正。其中的定义我大多会用举例的方式来讲解，便于理解记忆。

框架&记号

  我们考虑一个只有两个时间点 $t=0$ 和 $t=1$ 的简化金融模型，记 $t=0$ 时的第0个资产到第 $d$ 个资产的初始价格为

$\bar{\pi}=(\pi ^{(0)},\pi ^{(1)},\cdots,\pi ^{(d)})$

其中， $\pi ^{(i)}>0,i=1,2,\cdots,d$ 。记 $t=1$ 时的第0个资产到第 $d$ 个资产的终端价格为

$\bar{S}=(S ^{(0)},S ^{(1)},\cdots,S ^{(d)})$

其中 $S ^{(i)}>0,i=1,2,\cdots,d$ 为定义在 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 概率空间上的随机变量。

  上述第0个资产为无风险资产，因此有

$S^{(0)}=(1+r)\pi ^{(0)}$

其中 $r$ 为利率/收益率。

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投资组合，买空和卖空

投资组合

投资组合 Portfolio：
  我对第0个资产到第 $d$ 个资产持有份额通常可以记为

$\bar{\xi}=(\xi ^{(0)},\xi ^{(1)},\cdots,\xi ^{(d)})\in \mathbb{R}^{d+1}$

其中， $\xi^{(i)}$ 为我对第 $i$ 个资产的持有份额。这样的一种持有份额的设置称为是一种投资组合。

投资组合价值

   $t=0$ 时，投资组合价值为

$v_0=\bar{\xi} \bar{\pi}=\sum_{i=1}^d \xi^{(i)} \pi^{(i)}$

  同理， $t=1$ 时，投资组合价值为

$v_1=\bar{\xi} \bar{S}=\sum_{i=1}^d \xi^{(i)} S^{(i)}$

  若 $\xi ^{(0)}>0$，代表我在银行有一笔 $\xi ^{(0)} \pi^{(0)}>0$ 的储蓄，利率不妨设为 $r$；若 $\xi ^{(0)}<0$，代表我在银行借了一笔 $-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}>0$ 的钱，借款利率也是 $r$。

买空卖空

卖空Allocation（借鸡下蛋）：
  比方说，我看跌某个资产，那么我在 $t=0$ 时“借入卖出”：借入资产并将其卖出，在 $t=1$ 时“买入归还”：买入资产并归还。这样的话，如果在 $t=1$ 时资产价格真的跌了，那么我就赚了一笔钱。考虑到卖出资产收益的利率 $r$，对我能赚到的钱做如下计算：

  假设该资产确实如我所愿跌价的话，我在 $t=0$ 时“借入卖出”的资产量为 $\xi ^{(0)}<0$，考虑到卖出后得到收益的利率，我总共通过借入卖出获得 $-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}(1+r)>0$，在 $t=1$ 时我以 $S^{(0)}(<\pi^{(0)})$ 的单价“买入并归还”资产，共花费 $-\xi ^{(0)} S^{(0)}$，我实际赚了：

$-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}(1+r)-(-\xi ^{(0)} S^{(0)})\\=-\xi ^{(0)}(\pi^{(0)}-S^{(0)})-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}r\ (>0)$

买空Short Selling（空手套白狼）：
  比方说，我又看涨了某个资产，那么我在 $t=0$ 时“借钱买入”：借钱买入该资产，在 $t=1$ 时“卖出还钱”：卖出资产并还钱。这样的话，如果在 $t=1$ 时资产价格真的涨了，那么我就赚了一笔钱。考虑到借款利率 $r$，对我能赚到的钱做如下计算：

  我在 $t=0$ 时“借钱”欠了 $-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}(>0)$（暂时不考虑利率），我把这笔钱拿去买了我看涨的第 $i$ 个资产，就有等式

$-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}=\xi ^{(i)} \pi^{(i)}$（第 $i$ 个资产是我真实拥有的，所以 $\xi ^{(i)}>0$）

  好消息来了！第 $i$ 个资产真的涨了，我获得收益 $\xi ^{(i)} S^{(i)}$，考虑到借款利率 $r$，我实际赚了

$\xi ^{(i)} S^{(i)}-(-\xi ^{(0)} \pi^{(0)}(1+r)) \\ =\xi ^{(i)}(S^{(i)}-\pi^{(i)}(1+r))$

当然啦，这里稍微有点理想，就是默认 $S^{(i)}-\pi^{(i)}(1+r)>0$，实际上我们只能说 $S^{(i)}-\pi^{(i)}>0$，所以实际情况下要满足前面那个默认条件我才能获利。

套利

套利Arbitrage：
  一个投资组合 $\bar{\xi}$ 构成一个套利机会，若：

• $v_0=\bar{\xi} \bar{\pi} \leq 0$，初始该投资组合资产总价为0甚至为负债；
• $v_1=\bar{\xi} \bar{S} \geq 0$，终端该投资组合资产总价为非零数值；
• $P(\bar{\xi} \bar{S} > 0)>0$，且第2个条件发生概率大于0.

  显然套利看着很愉快，但现实生活中你能找到套利的机会少之又少，比方说我们来看一个简单的例子：

  某公司在出售某只股份以28美元买入的买权，当天该股票收盘价为41.7美元，市场上可以有两种形式的买法：

• 直接买花费41.7美元，总共花费41.7美元；
• 先去花R美元买权，再以28美元买入股票，总共花费（R+28）美元；

  若R+28<47.1，则通过第二种形式的买法，在终端时刻以41.7卖出，就会收益（47.1-R-28）美元;若R+28>47.1，手上拥有买权的人首先卖掉买权，再花47.1美元买入股票，再在 $t=1$ 时以28美元的价格卖出股票，就会收益（R+28-47.1）美元。

风险中性测度

风险中性测度Risk-Neutral Measures：
  概率测度 $P^*$称作风险中性测度，如果

$\mathbb{E}^*[S^{(i)}]=(1+r)\pi^{(i)},i=1,2,\cdots,d$

即基于概率测度 $P^*$计算的第 $i$ 个资产的未来平均价格，与无风险资产投到银行获得的本金加利息相等。若 $\mathbb{E}^{\#}[S^{(i)}]>(1+r)\pi^{(i)},i=1,2,\cdots,d$，概率测度 $P^{\#}$称为风险溢价/盈余。

定理：A市场是无套利市场模型 $\Leftrightarrow$ 至少有一个等价的风险中性测度。概率测度等价： $P^*(A)=0 \Leftrightarrow P(A)=0, for\ all\ A\in \mathbb{F}$.

未定权益

未定权益Hedging of Contingent Claims：
  未定权益是任何非负随机变量C。

**欧氏看涨期权（买权）**European call option：

$C=(S^{(i)}-K)^+= \begin{cases} S^{(i)}-K &\text{if } S^{(i)} \geq K \\ 0 &\text{if } S^{(i)} < K \end{cases}$

其中 $K$ 为交割价格。

**欧氏看跌期权（卖权）**European put option：

$C=(K-S^{(i)})^-= \begin{cases} K-S^{(i)} &\text{if } S^{(i)} \leq K \\ 0 &\text{if } S^{(i)} > K \end{cases}$

其中 $K$ 为交割价格。

可达未定权益：
  C称为可达未定权益，若存在投资组合 $\bar{\xi}$ ，使得

$C=\bar{\xi}\bar{S}$

未定权益的套利价格：
  为了达到可达未定权益，需要一个初始的投资组合 $\bar{\xi}\bar{\pi}$，以下记号称之为未定权益的套利价格

$\pi(C)=\bar{\xi}\bar{\pi}$

$\bar{\xi}$ 称为C的对冲或复制。

完备市场

完备市场Complete Market：
  一个市场是完备市场，若每个未定权益都是可达的/可以对冲。

定理：无套利市场是完备的 $\Leftrightarrow$ 有且仅有一个风险中性测度。

实例

题目：

作答：

a)

题目翻译： $R=\frac{S_1-S_0}{S_0}$ 的可能值为?

解： $S_1$ 的可能值为 $S_0(1+a)$ 和 $S_0(1+b)$，因此 $R$ 的可能值为 $a$ 和 $b$，即 $R\in\{a,b\}$.

b)

题目翻译：证明若 $\mathbb{P}^*$ 满足
$\mathbb{P}^*(R=a)=\frac{b-r}{b-a},\mathbb{P}^*(R=b)=\frac{r-a}{b-a}$
则 $\mathbb{E}^*(R)=r$.

证： $R$ 的概率分布如下图所示：

故
$\mathbb{E}^*(R)=a*\frac{b-r}{b-a}+b*\frac{r-a}{b-a}=\frac{r(b-a)}{b-a}=r.$

c)

题目翻译：是否存在套利机会？并解释原因。

解：根据定理1.3知，无套利市场 $\Leftrightarrow$ 至少存在一个等价的风险中性测度。假设利率为 $r$ ，若存在风险中性测度 $\mathbb{P}^*$ ，则有 $\mathbb{E}^*(S_1)=(1+r)S_0$，由计算得到
$\mathbb{E}^*(S_1)=\mathbb{E}^*((1+R)S_0)=S_0\mathbb{E}^*(1+R)=S_0(1+r)$
故 $\mathbb{P}^*$ 为风险中性测度，从而该市场是无套利市场。

d)

题目翻译：是否是完备市场？并解释原因。

解：根据定理1.8知，完备市场 $\Leftrightarrow$ 有且仅有一个等价的风险中性测度。
$\begin{cases} S_0(1+a)*\mathbb{P}^*(S_1=S_0(1+a)) + S_0(1+b)*\mathbb{P}^*(S_1=S_0(1+b)) = S_0(1+r) &(1)\\ \mathbb{P}^*(S_1=S_0(1+a)) + \mathbb{P}^*(S_1=S_0(1+B)) = 1 &(2) \end{cases}$
即得：
$\begin{cases} (1+a)*\mathbb{P}^*(R=a) + (1+b)*\mathbb{P}^*(R=b) = (1+r) &(1)\\ \mathbb{P}^*(R=a) + \mathbb{P}^*(R=b) = 1 &(2) \end{cases}$
解得：
$\mathbb{P}^*(R=a)=\frac{b-r}{b-a},\mathbb{P}^*(R=b)=\frac{r-a}{b-a}$
这与b)中概率一致，因此解是唯一的，从而是完备市场。

e)

题目翻译：考虑未定权益
$C=\begin{cases} \alpha & \text{if } R=a,\\ \beta & \text{if } R=b. \end{cases}$
证明：投资组合 $(\eta,\xi)$
$\eta=\frac{\alpha(1+b)-\beta(1+a)}{\pi_0(1+r)(b-a)},\xi=\frac{\beta-\alpha}{S_0(b-a)}$
对冲未定权益C，即，在 $t=1$ 时有
$\eta*\pi_1+\xi*S_1=C$
证：

$(1)R=a$
$\eta*\pi_1+\xi*S_1=\eta*\pi_0(1+r)+\xi*S_0(1+a)=\alpha$
$(1)R=b$
$\eta*\pi_1+\xi*S_1=\eta*\pi_0(1+r)+\xi*S_0(1+b)=\beta$
综上可得 $\eta*\pi_1+\xi*S_1=C$.

f)

题目翻译：计算套利价格 $\pi(C)$.

解：
$\pi(C)=\bar{\xi}\cdot\bar{\pi}=\eta*\pi_0+\xi*S_0=\frac{\alpha(b-r)+\beta(r-a)}{(1+r)(b-a)}.$

g)

题目翻译：计算 $\mathbb{E}^*(C)$.

解：
$\mathbb{E}^*(C)=\alpha*\mathbb{P}^*(R=a)+\beta*\mathbb{P}^*(R=b)=\alpha*\frac{b-r}{b-a}+\beta*\frac{r-a}{b-a}=\frac{\alpha(b-r)+\beta(r-a)}{b-a}.$

h)

题目翻译：证明 $\pi(C)=\frac{1}{1+r}\mathbb{E}^*(C)$.

证：由 f)，g)易得。

i)

题目翻译：对 h)进行解释。

答： $t=0$ 时套利价格等于 $t=1$ 时可达未定权益的平均价格的贴现值。

j)

题目翻译：C代表在 $t=1$ 时风险资产看跌期权(put option)的清偿，交割价 $K=$11​美元。用 $S_1$ 和 $K$ 来表示C.

解：
$C=(K-S_1)^+=\begin{cases} 11-S_1 & \text{if } 11\geq S_1,\\ 0 & \text{if } 11\leq S_1. \end{cases}$