1. 简介

• 关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询
• 关系代数

1. 运算对象 是 关系
2. 运算结果 是 关系
3. 关系代数运算有两类：集合运算和专门的关系运算

• 传统的集合运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行
• 专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列
  【这个行与列的区别需要好好斟酌】

运算符

2. 传统的集合运算

传统的集合运算不细讲，并（union）与交（intersection），高中老朋友了，讲一下差（difference）和笛卡尔积（Cartesian Product）吧！

• 差
  R - S : 由属于R而不属于S的所有元组组成, $R - S = \{ t|t\in R \cap t\notin S \}$

1. R,S具有相同的目n
2. R,S相应的属性取自同一个域
   

• 笛卡尔积 (文字不用看，直接看图）
  R: n目关系，k1个元组
  S: m目关系，k2个元组
  R×S
  列：（n+m）列元组的集合
  (1)元组的前n列是关系R的一个元组
  (2)后m列是关系S的一个元组
  行：k1×k2个元组
  

3. 专门的关系运算

记号的引入

• $R，t\in R，t[Ai]$
  (1)设关系模式为R(A1，A2，…，An)
  它的一个关系设为R
  (2) $t\in R$表示t是关系R的一个元组
  (3) $t[Ai]$ 则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量

• $A，t[A]， \bar A$
  （1）若 $A=\{Ai1，Ai2，…，Aik\}$，其中 $Ai1，Ai2，…，Aik$是 $A1，A2，…，An$中的一部分，则A称为属性列或属性组。
  （2） $t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])$表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
  （3） $\bar A$则表示 $\{A1，A2，…，An\}$中去掉 $\{Ai1，Ai2，…，Aik\}$后剩余的属性组。

• $\overset{\frown}{t_{r}t_{s}}$
  R为n目关系，S为m目关系。
  $t_{r}\in R，t_{s}\in S，\overset{\frown}{t_{r}t_{s}}$称为元组的连接。
  $\overset{\frown}{t_{r}t_{s}}$是一个 $n + m$列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组

• 象集 $Z_{x}$
  给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
  当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为： $Zx=\{ t[Z]|t \in R，t[X]=x\}$
  它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合
  

学生关系数据库

学生-课程数据库：学生关系Student、课程关系Course、选修关系SC

• Student
  
• Course
  
• SC
  

3.1 选择

• 选择又称为限制（Restriction）
• 选择运算符的含义
  在关系R中选择满足给定条件的诸元组
  $σ_{F}(R) = \{ t | t\in R\cap F(t)= 真 \}$
  F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
  基本形式为： $X_{1}θY_{1}$
  θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝，<>
• 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
• 例子： $σ_{Cno=1}(SC)$
  

3.2 投影（Projection）

• 从R中选择出若干属性列组成新的关系
  $π_{A}(R) = \{ t[A] | t \in R \}$
  A：R中的属性列
• 投影操作主要是从列的角度进行运算
• 投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
• 例子： $π_{Sname,Sdept}(Student)$
  

3.3 连接(Join)

3.3.1 定义

• 连接也称为θ连接
• 连接运算的含义
  从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
  $R\mathop{\bowtie}\limits_{AθB} S = \{ \overset{\frown}{t_{r}t_{s}}|t_{r}\in R\cap t_{s} \in S\cap t_{r}[A]θt_{s}[B] \}$
  （1）A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
  （2）θ：比较运算符
• 连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组

3.3.2 两种常用的连接运算

• 等值连接（equijoin）
  θ为“＝”的连接运算称为等值连接
  从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为： $R\mathop{\bowtie}\limits_{A=B} S = \{ \overset{\frown}{t_{r}t_{s}}|t_{r}\in R\cap t_{s} \in S\cap t_{r}[A]=t_{s}[B] \}$
• 自然连接（Natural join）
  自然连接是一种特殊的等值连接
  两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
  在结果中把重复的属性列去掉
  自然连接的含义：R和S具有相同的属性组B
  $R\mathop{\bowtie} S = \{ \overset{\frown}{t_{r}t_{s}}[U-B]|t_{r}\in R\cap t_{s} \in S\cap t_{r}[B]=t_{s}[B] \}$
• 一般的连接操作是从行的角度进行运算。
  自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

3.3.3 例子

• 一般链接 ： $R\mathop{\bowtie}\limits_{C<E} S$
  

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• 等值连接： $R\mathop{\bowtie}\limits_{R.B=S.B} S$
  

• 自然连接: $R\mathop{\bowtie} S$
  

3.3.4 悬浮元祖（Dangling tuple）

两个关系R和S在做自然连接时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。

例如：做自然连接时R的第四个元组，S的第五个元组

3.3.5 外连接（Outer Join）

• 如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接
• 左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)：只保留左边关系R中的悬浮元组
• 右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)：只保留右边关系S中的悬浮元组

下图分别为左外连接和右外连接：

3.4 除运算

• 给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z 为属性组。
• R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的
  域集。
• R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
• P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
• 元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：
  $R÷S = \{ t_{r}[X] | t_{r}\in R ∧π_{Y}(S) \subset Yx \}$
  Yx：x在R中的象集， $x = t_{r}[X]$
  
  解析：
• 在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
  a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
  a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
  a3的象集为 {(b4，c6)}
  a4的象集为 {(b6，c6)}
• S在(B，C)上的投影为
  {(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
• 只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
  所以 R÷S ={a1}

总结

关系就是表