1. $C = e^{-rT}E^{Q}[max(S_T-K,0)]$
又可以写为 $C = e^{-rT}E^{Q}[(S_T-K)]II_{S_T > =K }] \tag 1$
其中 $Q$表示在风险中性下的利率测度
$II_{S_T >= K}$为示性函数，用来表示 $S_T$和 $K$之间的关系。

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2$
其中 $w_t$为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下 $w_t^{p} + \int_{0}^{t} \theta_s d_t = w_t^{Q} \tag3$

所以，将（2）式带入（3）式中得到在风险中性测度下股票价格的变化公式(常数项不变，照抄即可)：
$dS_t^{Q} =\mu S_tdt +\sigma S_t(dW_t^{Q}-\theta_s dt) \tag4$

因为 $\theta_s =\frac{\mu - r}{\sigma}$,所以
$d S_t^{Q} = rS_tdt + \sigma S_t dW_t^{Q} \tag5$
$\Rightarrow S_t = S_0 exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t^{Q})$

因为 $dw_t = \epsilon \sqrt{T}$,其中 $\epsilon$服从正态分布，T为时间，所以 $\Rightarrow S_T = S_0 exp[(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \epsilon \sqrt{T}] \tag 6$

lianjie

如果 $\epsilon$服从 $N(0,1)$,则 $E[e^{m+\lambda \epsilon II_{\epsilon > a}}] = \int_a^\infty e^{m+\lambda \epsilon}.\sqrt{2\pi}e^{\frac{-\epsilon^2}{2}}$,其中 $m,\lambda,a$为常数 ，得到： $\int _a^{\infty}e^{m+\lambda \epsilon} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}d\epsilon$ 令 $\epsilon = x$
$\Rightarrow \int _a^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^\frac{-(x-\lambda)^2}{2}e^{\frac{\lambda}{2}+m}$ 令 $y = x-\lambda$ $\Rightarrow \int_{a-\lambda}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-y^2}{2}}e^{\frac{\lambda^2 }{2}+m}dy \tag 0$
所以，式（0）也是服从标准正态分布 $N(0,1)$ 的
所以原式= $e^{\frac{\lambda^2}{2}}[1-N(a-\lambda)] = e^{\frac{\lambda^2}{2}+m }N(\lambda -a )$

4.可以将（1）式写为 $C = e^{-rT}E^{Q}[S_TII_{S_T > =K }] -E^Q[ K_II{S_T > =K } ] \tag 7$其中 $e^{-rT}E^Q[S_T II_{S_T>=K}]$等价于