离散数学:聊聊生成函数的郁闷

聊聊生成函数的郁闷

最近拿着一本离散数学呆呆地发愣…生成函数四个大字搞得我无限自闭,那么就来聊聊这天杀的生成函数到底是何方神圣。

生成函数是一种表现序列的有效方法,把序列的项作为一个形式幂级数中变量x的幂的系数,由此可以解决许多类型的技术问题。

基本概念理解

定义: 实数序列a0,a1……,ak,……的生成函数是无穷级数
G(x)=a0+a1x+……+a6xk+……
这叫做{ak}的普通生成函数。

一些定理

当我们解决计数问题时,我们习惯于把它考虑为形式幂级数,我们在讨论的时候一般不涉及到收敛问题。
定理一 令f(x)= \sum akxk,g(x)= \sum bkxk,那么,可以知道:
f(x)+g(x)= \sum (ak+bk)xk和f(x)g(x)= \sum ( \sum ajbk-j)xk
定理一只有当幂级数在一个区间收敛时才有效,但是,生成函数并不局限于这种级数。当级数不收敛时,我们可以看成是生成函数和与积的定义。
我们来看一个小小的例子来帮助我们理解:
例子: 我们可以知道1/(1-x) = 1+x+x2+x3+……,我们由定理一可以得出:1/(1-x)2= \sum ( \sum 1)xk= \sum (k+1)xk

未完待续…

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