A集合的元素个数为 ∣ A ∣ = n |A| = n ∣A∣=n，B集合的元素个数为 ∣ B ∣ = m |B| = m ∣B∣=m，则
- A、B之间可形成 n m nm nm个有序对
- 笛卡尔积A×B中的元素个数为 n m nm nm （即全域关系 E A E_A EA中有序对的数目）
- A、B之间可形成的二元关系（笛卡尔积的子集）有 2 n m 2^{nm} 2nm种
- 特别的，A上的二元关系有 2 n 2 2^{n^2} 2n2种，其中等价关系（划分方式）有 2 n − n 2^n - n 2n−n种
- 从A到B共有 ∣ B ∣ ∣ A ∣ |B|^{|A|} ∣B∣∣A∣种函数
基本定义
函数
从A到B的函数
从A到B的函数在满足函数的定义的基础上，还增加了定义域、值域的约束条件。
从A到B共有 ∣ B ∣ ∣ A ∣ |B|^{|A|} ∣B∣∣A∣种函数。
函数是一种特殊的二元关系，关系却不一定是函数。
函数的像：函数在部分定义域下所对应的部分值域。
单射、满射、双射
对于单射的函数，与 x x x轴平行的直线与图像最多有一个交点。
存在多个零点的函数一定不单射，存在极值的函数一定不单射。
证明方法：
复合函数与反函数
复合函数
两个函数的复合产生一种新的关系。
- 设 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B，则 f = f ∘ I B = I A ∘ f f = f\circ I_B = I_A\circ f f=f∘IB=IA∘f，其中 I A , I B I_A, I_B IA,IB分别为 A 、 B A、B A、B的恒等函数。
反函数
函数的逆不一定是函数，只有双射函数才存在反函数（反函数也是由双射所定义的）。
