一元积分若干分析

此讲义将不断补充.

1 不定积分

求一个函数的不定积分是求导的逆过程，这和加法与减法 , 乘法和除法关系类似.
简而言之 一个函数的不定积分是它的原函数的全体. 这些原函数只相差一个常数.

计算是不定积分的重头戏.
虽然是逆过程，但只学习导数的计算就并不意味着完全掌握不定积分的计算内容. 这和学习乘法的公式还要专门学习除法的公式类似，总还是有点自己计算的策略. 比如换元法，分部积分法，都是计算不定积分常用方法. 常用公式应当熟记. 而且这里往往要碰到一些三角函数和反三角函数的部分，这些函数的性质和图像，也需要额外的注意.

下面是两道学生不会的题：
$\int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}dx$
这里需要将 1 进行等价变形 $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ 就可以了， 最后涉及了 $\cot(x)$ 的原函数 $\ln(|\sin(x)|)$
还有一道题的最后一步遇到， $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\int_0^{t}e^{-x^2}dx}{t}$
学生一头扎入想着求分子上面的变上限积分 $e^{-x^2}$的表达式， 算半天失败告终. 我按照常规方法也计算了一会，发现这个思路在这有问题.
当时我在学习这块时候记得有那么一些常见的函数不定积分没有办法用初等函数表达. 这里是不是这样呢？
于是在Mathematica运行看看：

Integrate[E^(-x^2), x]

返回结果：

这是一个形式的结果，当然Mma不定积分没有标常数，这个软件的帮助文档声明过，
结合华东师范大学《数学分析第四版》199 页教材的分析，这样的还有 $e^{x^2}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin(x)}{x}$ 等不定积分.
回到本题， 结合原函数存在定理，
上面的变上限积分，实质上是关于 $t$函数 , 且处处可导. 注意到极限是 $\frac{0}{0}$ 型，采用洛必达法则，上下求导，就容易得到结果为1了.
注：牛顿莱布尼茨公式建立了定积分和原函数之间的联系. 从这一点看掌握不定积分的求解也是重要的.

事实上，我们研究过程遇到的问题往往不是教材上比较简单的情形，此时一个办法借助相关数学软件求解. 这一点后面再来专门说明. 但计算机求解不是万能的，这一点要注意.
思考：如何将学习的基础课和目前的研究结合. 平时有选择性熟悉一些数学技巧是必要的. 这也是长期思考实践的问题.

2 定积分

举若干有趣的习题分析.
第一道是周期函数在任意周期内积分相同.

If $f$ is continuous and periodic with period $a$, then show that $\int_{0}^{a}f(t)dt=\int_{b}^{b+a}f(t)dt$
for all $b\in \mathbb{R}$.

证明方法一：
Let $H(x)=\int_x^{x+a}f(t)\,dt$. Then
$\frac{dH}{dx}=f(x+a)-f(x)=0.$
It follows that $H(x)$ is constant. In particular, $H(b)=H(0)$.

证明方法二：

$\int_{b}^{a+b}f(x)\ dx = \int_{a}^{a+b}f(x)\ dx +\int_{b}^{a}f(x)\ dx \\ \ \overset{y=x-a}{=} {\color{blue}{\int_{0}^{b}f(y+a)\ dy} }+ \int_{b}^{a}f(x)\ dx \\ \\\overset{periodic}{=}{ \color{blue}{\int_{0}^{b}f(y)\ dy}} +\int_{b}^{a}f(x)\ dx \\=\int_0^af(x)\ dx.$

进一步思考： 可导的周期函数 $f$, 它的导函数在一个周期内定积分等于多少？
参考答案为0. 想想为什么？ 周期函数的导函数还是周期函数吗？
给予论证